Основные результаты
Динамика твердого тела:
- Решение задачи Пуанкаре об отсутствии новых аналитических
интегралов в задаче о вращении тяжелого несимметричного твердого тела
с неподвижной точкой. Открытие бесконечного числа невырожденных
долгопериодических траекторий и стохастического слоя вблизи расщепленных сепаратрис.
- Усиление классических результатов Стеклова и Ляпунова об условиях интегрируемости
уравнений Кирхгофа, описывающих движение твердого тела в жидкости.
- Решение задачи Чаплыгина о падении тяжелого твердого тела
в безграничном объеме идеальной жидкости.
- Доказательство существования и исследование авторотационных режимов падающего тела в вязкой жидкости.
- Исследование качественной картины движения гироскопов Ковалевской и Горячева–Чаплыгина.
- Открытие полной управляемости тела в жидкости с жесткой оболочкой и меняющейся геометрией масс.
|
Проблемы интегрируемости уравнений динамики:
- Решение проблемы Пенлеве–Голубева о связи ветвления решений
в плоскости комплексного времени и наличия полного набора голоморфных
первых интегралов уравнений Гамильтона.
- Открытие чисто топологических препятствий к существованию
первых интегралов уравнений динамики и связи между степенями
неприводимых полиномиальных интегралов и топологией конфигурационного пространства.
- Открытие стохастического поведения систем взаимодействующих
частиц с периодическим потенциалом без сингулярностей
и классификация вполне интегрируемых обобщенных цепочек Тоды.
|
Теория устойчивости:
- Полное и строгое доказательство фундаментальной теоремы
о неустойчивости равновесия в силовом поле
с гармоническим потенциалом, сформулированной Ирншоу еще в 1839 г.
- Развитие первого метода Ляпунова для сильно нелинейных систем.
- Открытие связи между степенью неустойчивости и индексом инерции функций Ляпунова.
- Описание спектра линейной системы с квадратичным интегралом
с помощью симплектической геометрии комплексного пространства Артина.
|
Вариационные методы:
- Вариационное доказательство существования и оценки числа
периодических траекторий через топологические инварианты областей возможности движения.
- Применение принципа Гамильтона для отыскания решений, асимптотических
к равновесию неавтономных лагранжевых систем.
|
Общие принципы динамики:
- Развитие конструктивного метода в динамике систем со связями.
Построение новых математических моделей движения систем
с неинтегрируемыми и односторонними связями.
- Открытие интегрального аналога принципа Гаусса.
- Открытие аналогии между динамикой на инвариантных многообразиях уравнений
Гамильтона и гидродинамикой идеальной жидкости, позволившей
развить вихревой метод точного интегрирования канонических уравнений.
|
Неголономная механика:
- Доказательство несуществования инвариантных мер для типичных неголономных систем.
- Развитие методов интегрирования неголономных систем.
Решение новых задач о качении и неголономном скольжении твердых тел.
|
Теория удара:
- Открытие предельного перехода в системах с ударами,
когда односторонняя связь заменяется средой Кельвина–Фойгта, и
коэффициенты жесткости и вязкости устремляются к бесконечности.
Развитие на этой основе нового эффективного метода
исследования устойчивости виброударных систем.
- Открытие новых вполне интегрируемых биллиардных систем.
- Найдена связь экстремальных свойств двузвенных биллиардных траекторий с их устойчивостью.
|
Симметрия и интегральные инварианты:
- Разрушение инвариантных резонансных торов и сложное
топологическое строение конфигурационного пространства —
препятствия к существованию нетривиальных групп симметрий.
- Открытие связи между симметриями в фазовом пространстве
системы с двумя степенями свободы и многозначными первыми интегралами.
- Доказательство гипотезы Пуанкаре об отсутствии новых
интегральных инвариантов ограниченной задачи трех тел.
|
Статистическая механика:
- Вывод канонического распределения Гиббса для систем
с конечным числом степеней свободы, не опирающийся на эргодическую гипотезу.
- Разработка кинетики бесстолкновительной сплошной среды
в областях с неподвижной и медленно меняющейся границей.
- Исследование слабых пределов решений уравнения Лиувилля для нелинейных
гамильтоновых систем и условий возрастания грубой энтропии.
- Построение обратимой неравновесной статистической механики газа Больцмана–Гиббса.
|
Эргодическая теория:
- Исследование финальных свойств интегралов квазипериодических функций.
- Открытие равномерной возвращаемости динамических систем
на торе с интегральным инвариантом и их предельного перемешивания.
- Обобщения усиленного закона больших чисел
с использованием сходимости по Риссу и Вороному.
- Доказательство новой формы эргодической теоремы, когда усреднение
по времени заменяется усреднением по параметру
(скажем, полной энергии) с некоторой плотностью.
|
Математическая физика:
- Открытие лагранжевой турбулентности в типичных стационарных течениях вязкой жидкости.
- Описание законов сохранения квантовых систем
с торическим конфигурационным пространством,
порождаемых полиномиальными дифференциальными операторами.
- Открытие нетривиальных решений уравнений
Клейна–Гордона на пространстве де Ситтера с конечным действием.
|
|
Главная страница
Наверх
