\documentclass[12pt,leqno]{article} \usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem} \addtolength{\topmargin}{-23mm} \addtolength{\textheight}{60mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-20mm} \addtolength{\textwidth}{40mm} %%%%% Theorem style with a dot at the end of the header \makeatletter \begingroup \gdef\th@dotted{\normalfont\itshape \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{dotted} \newtheorem{thm}{Теорема}[section] \newtheorem{lemma}[thm]{Лемма} \newtheorem{prop}[thm]{Предложение} \newtheorem{corr}[thm]{Следствие} \newtheorem{exc}{Упражнение}[section] \newtheorem{sch}[thm]{Факт} %%%%% Same for definitions \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{upshape} \newtheorem{opr}[thm]{Определение} \newtheorem{rem}[thm]{Замечание} %%%%% Разное \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \makeatother \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}} \def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip} \renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}} \def\eps{\varepsilon} \def\phi{\varphi} \def\wt{\widetilde} \def\wh{\widehat} \let\latexref=\ref \def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}} \setlength{\unitlength}{1pt} \newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % The dot which looks good as index for homology groups % \newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % Same for cohomology % %%%%% Буквы \newcommand{\CA}{{\mathcal A}} \newcommand{\CE}{{\mathcal E}} \newcommand{\CF}{{\mathcal F}} \newcommand{\CG}{{\mathcal G}} \newcommand{\CH}{{\mathcal H}} \newcommand{\CJ}{{\mathcal J}} \newcommand{\CK}{{\mathcal K}} \newcommand{\CL}{{\mathcal L}} \newcommand{\CN}{{\mathcal N}} \newcommand{\CV}{{\mathcal V}} \newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\CO}{{\mathcal O}} \newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\Z}{{\mathbb Z}} \newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\A}{{\mathbb A}} \newcommand{\Pp}{{\mathbb P}} \newcommand{\m}{\mathfrak m} \newcommand{\aA}{\mathfrak a} \newcommand{\pp}{\mathfrak p} \newcommand{\qq}{\mathfrak q} \newcommand{\bb}{\mathfrak b} \newcommand{\calo}{{\mathcal O}} \newcommand{\F}{{\mathcal F}} \newcommand{\E}{{\mathcal E}} \newcommand{\TX}{{\tilde{X}}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}} \newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}} \newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}} \newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}} \newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}} \newcommand{\Num}{\operatorname{\sf Num}} \newcommand{\Eff}{\operatorname{\sf Eff}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}} \newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}} \newcommand{\Tor}{\operatorname{{\sf Tor}}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{{\sf Ext}}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{{Tot}}} \newcommand{\Cl}{\operatorname{Cl}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}} \newcommand{\Max}{\operatorname{Max}} \newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}} \newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}} \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}} \newcommand{\PpShv}{\operatorname{PreShv}} \newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}} \newcommand{\codim}{\operatorname{{\sf codim}}} \newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}} \newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}} \renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}} \newcommand{\degtr}{\operatorname{{\sf deg\,tr}}} \renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}} \newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}} \newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}} \newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}} \newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}} \newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}} \newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}} \newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}} \newcommand{\ilim}{{\mathop{\lim\limits_\leftarrow}\nolimits}} \def\ds{\displaystyle} \newcommand{\6}{\partial} %%%%% Pagestyle \pagestyle{myheadings} \markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, весна 2006}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, весна 2006} \begin{document} \setcounter{section}{19} \stepcounter{section} \section*{Лекция 21.} \begin{center} \begin{minipage}{0.7\linewidth}\small Бирациональные преобразования поверхностей. Минимальные модели. Численная эффективность. Линейчатые поверхности. Классификация. \end{minipage} \end{center} \subsection*{Бирациональные преобразования поверхностей} Напомним некоторые факты, связанные с раздутиями гладких подмногообразий. Если $X$ --- поверхность, то единственное нетривиальное гладкое раздутие --- раздутие точки. \begin{thm}\label{itbu} Пусть $\pi:\TX \to X$ --- раздутие точки $P$ на поверхности $X$, $E = \pi^{-1}(P)$. Тогда $\TX$ --- гладкая, $E \cong \Pp^1$. Кроме того, $\Pic\TX = \Pic X \oplus \ZZ E$, а индекс пересечения можно вычислять по формулам $(\pi^*C)\cdot(\pi^*D) = C\cdot D$, $(\pi^*C)\cdot E = 0$ и $E^2 = -1$. Наконец, $K_\TX = \pi^*K_X + E$ и, в частности, $K_\TX^2 = K_X^2 - 1$. \end{thm} \proof{} Все утверждения кроме формул для индекса пересечения были доказаны раньше. Чтобы проверить эти формулы, заметим, что всякий дивизор на $X$ можно представить в виде разности двух гладких кривых, не проходящих через точку $P$ (здесь потребуется слегка усиленная версия теоремы Бертини, сформулируйте и докажите ее!). Поэтому достаточно считать, что $C$ и $D$ --- такие кривые. Но тогда $\pi^*C\cap E = \emptyset$, поэтому $(\pi^*C)\cdot E = 0$. Кроме того, все точки пересечения кривых $\pi^*C$ и $\pi^*D$ лежат в $\TX\setminus E = X\setminus P$, и легко видеть, что локальные индексы пересечения совпадают. Поэтому $(\pi^*C)\cdot(\pi^*D) = C\cdot D$. Наконец $E^2 = \deg\CN_{E/\TX} = \deg\CO_E(-1) = -1$. \endproof \begin{exc}\label{h11} Пусть $\pi:\TX \to X$ --- раздутие точки на гладкой поверхности $X$. Докажите, что $h^{11}(\TX) = h^{11}(X) + 1$ (указание: постройте точную последовательность $0 \to \pi^*\Omega_X \to \Omega_\TX \to \CO_E(-2) \to 0$). \end{exc} \begin{exc}\label{localblowup} Пусть $X = \Spec A$, $A$ --- двумерное регулярное локальное кольцо, $x,y$ --- локальные параметры. Докажите, что подсхема $\TX \subset X\times\Pp^1$, заданная уравнением $uy = vx$, где $(u:v)$ --- однородные координаты на $\Pp^1$, является раздутием замкнутой точки $X$. В частности, раздутие покрывается двумя аффинными картами $\{u\ne 0\}$ и $\{v\ne 0\}$ с локальными координатами $(x,v/u)$ и $(u/v,y)$ соответственно. \end{exc} \begin{exc}\label{pis} Пусть $\pi:\TX \to X$ --- раздутие точки $P$ на гладкой поверхности $X$. Пользуясь предыдущим упражнением, докажите, что\\ $(i)$ $L_{>1}\pi^*\CF = 0$ для всякого когерентного пучка $\CF$ на $X$;\\ $(ii)$ $R^{>1}\pi_*\CG = 0$ для всякого когерентного пучка $\CG$ на $\TX$;\\ $(iii)$ для всякого когерентного пучка $\CF$ на $X$ выполнено $\pi_*L_1\pi^*\CF = 0$, $R^1\pi_*\pi^*\CF = 0$ и существует точная последовательность $0 \to R^1\pi_*L_1\pi^*\CF \to \CF \to \pi_*\pi^*\CF \to 0$;\\ $(iv)$ $\pi_*\CO_\TX(-kE) = \m_P^k$, $R^1\pi_*\CO_\TX(-kE) = 0$ для всех $k\ge 0$;\\ $(v)$ $\pi_*\CO_\TX(kE) = \CO_X$, $R^1\pi_*\CO_\TX(kE) = (\CO_X/\m_P^{k-1})^*$ для всех $k\ge 0$. \end{exc} Оказывается, для гладких поверхностей любое бирациональное преобразование сводится к последовательности раздутий точек. \begin{prop} Пусть $f:Y \to X$ --- регулярный бирациональный морфизм и пусть обратное отображение $f^{-1}:X \to Y$ не определено в точке $P$. Тогда существует морфизм $g:Y \to \TX$, где $\pi:\TX \to X$ --- раздутие точки $P$, такой что $f = \pi\circ g$. \end{prop} \proof{} Можно считать, что $X = \Spec A$, $A$ --- регулярное локальное двумерное кольцо. Пусть $(x,y)$ --- локальные координаты на $X$. Достаточно показать, что идеал, порожденный функциями $(x,y)$ на $Y$ --- локально главный (тогда $g$ существует по универсальному свойству раздутия). Предположим, это не так. Тогда существует точка $Q \in Y$ в которой идеал $(x,y)$ --- не главный. Заметим, что поскольку $f^{-1}$ не определено в $P$, то $\dim f^{-1}(P) = 1$, причем $f^{-1}(P)$ связно по теореме Зариского. Следовательно, через точку $Q$ проходит неприводимая кривая $C \subset f^{-1}(P)$. Пусть $z$ --- ее уравнение в $Q$ (здесь мы пользуемся локальной факториальностью локального кольца точки $Q$, то есть гладкостью $Y$). Тогда $(x,y) \subset (z)$, то есть $x = az$, $y = bz$, причем по предположению $a,b\in\m_Q$, то есть $x,y \in \m_Q^2$. Рассмотрим график $\Gamma \subset Y\times\TX$ рационального отображения $g = \pi^{-1}\circ f:Y \to \TX$. Пусть $q:\Gamma \to Y$ и $r:\Gamma\to \TX$ --- проекции. Так как $g$ не опредлено в $Q$, то $\dim q^{-1}(Q) \ge 1$, причем $\pi(r(q^{-1}(Q))) = f(q(q^{-1}(Q))) = f(Q) = P$, то есть $r(q^{-1}(Q)) = E$. С другой стороны, проекция $r:\Gamma \to \TX$ бирациональна, поэтому найдется точка $R \in E$, такая что $r$ --- изоморфизм над $R$. Ясно, что $q(r^{-1}(R)) = Q$, то есть $r^{-1}(R) = (Q,R)$. Морфизм $r$ задает изоморфизм локальных колец $\CO_{\TX,R} \cong \CO_{\Gamma,(Q,R)}$, а морфизм $q$ --- вложение колец $\CO_{Y,Q} \to \CO_{\Gamma,(Q,R)}$. Компонируя их, получаем локальное вложение локальных колец $\CO_{Y,Q} \to \CO_{\TX,R}$. Ясно, что оно коммутирует с вложением в общее поле частных, поэтому функции $x,y$ должны лежать в $\m_R^2$. Но по упражнению~\ref{localblowup} в точке $R$ одна из функций $x,y$ является локальной координатой, то есть не лежит в $\m_R^2$. \endproof \begin{exc} Пусть $Y_0 \subset \Pp^3$ --- квадратичный конус, $Q$ --- его вершина, а $f_0:Y_0 \to \Pp^2 = X$ --- проекция из точки $P_0\in Y_0\setminus Q_0$. Докажите, что\\ $(i)$ Пусть $Y \to Y_0$ --- раздутие точки $P_0$. Покажите, что морфизм $f:Y \to Y_0 \to X$ --- регулярен, а $f^{-1}$ не определен в точке $P = f_0(Q)$.\\ $(ii)$ Пусть $\pi:\TX \to X$ --- раздутие точки $P$. Покажите, что отображение $\pi^{_1}\circ f:Y \to X$ не определено в точке $Q$. \end{exc} \begin{corr}\label{factor} Пусть $f:Y \to X$ --- бирациональный регулярный морфизм между гладкими проективными поверхностями. Тогда $f$ раскладывается в композицию конечного числа раздутий точки. \end{corr} \proof{} Морфизм $f^{-1}$ не определен в конечном множестве точек, прообраз каждой из которых кривая в $Y$. Пусть $n$ --- суммарное число неприводимых компонент этих кривых. Морфизм $Y \to X$ пропускается через $Y \to \TX$ и ясно, что при этом морфизме стягивается на одну кривую меньше. Остается применить индукцию по $n$. \endproof \begin{prop} Пусть $X$ --- гладкая поверхность, а $f:Y \to X$ бирациональный проективный морфизм. Найдется последовательность раздутий точек $X_n \stackrel{\pi_n}\to X_{n-1} \to \dots \to X_1 \stackrel{\pi_1}\to X$ и регулярное отображение $g:X_n \to Y$, так что $f\circ g = \pi_1\circ\dots\circ\pi_n$. \end{prop} \proof{} Ясно, что $f$ --- раздутие некоторого пучка идеалов $\CJ$ на $X$. В силу универсального свойства раздутия достаточно построить такую последовательность раздутий точек, что $\Im(\pi_n^*\dots\pi_1^*\CJ \to \CO_{X_n})$ --- обратимый пучок. Пусть $\CJ$ --- пучок идеалов подсхемы $Z \subset X$ и $P \in Z$. Пусть $k\ge 1$ --- максимальное число, такое что $\CJ \subset \m_P^k$. Рассмотрим раздутие $\pi:\TX \to X$ в точке $P$ и обозначим $\CJ' = \Im(\pi^*\CJ \to \CO_\TX)$. Заметим, что $\Hom(\CJ,\m_P^k) = \Hom(\CJ,\pi_*\CO_\TX(-kE)) \cong \Hom(\pi^*\CJ,\CO_\TX(-kE))$, поэтому $\CJ' \subset \CO_\TX(-kE)$. Более того, ясно что $\CO_\TX(-kE)/\CJ'$ --- структурный пучок нульмерной подсхемы $Z' \subset\TX$ (то что носитель этого пучка вне $E$ нульмерен очевидно, а если бы все $E$ лежало в носителе этого пучка, то мы имели бы морфизм $\CJ' \to \CO_\TX(-(k+1)E)$, который давал бы вложение $J \to \m_P^{k+1}$, что невозможно по выбору числа $k$). Покажем, что $\dim H^0(\TX,\CO_{Z'}) < \dim H^0(X,\CO_Z)$. Для этого заметим, что так как морфизм $\pi^*\CJ \to \CO_\TX$ пропускается через $\CJ'$, то морфизм $\CJ \to \pi_*\CO_\TX = \CO_X$ пропускается через $\pi_*\CJ'$, поэтому $\pi_*\CJ'$ --- идеал в $\CO_X$, содержащий $\CJ$. Кроме того, $R^1\pi_*\pi^*\CJ = 0$, поэтому наличие сюръекции $\pi^*\CJ \to \CJ'$ означает $R^1\pi_*\CJ' = 0$. Теперь применяя функтор $\pi_*$ к последовательности $0 \to \CJ' \to \CO_\TX(-kE) \to \CO_{Z'} \to 0$ получаем точную последовательность $0 \to \pi_*\CJ' \to \m_P^k \to \pi_*\CO_{Z'} \to 0$, из которой следует, что пучок $\pi_*\CO_{Z'}$ накрывается пучком $\m_P^k/\CJ$, значит $$ \dim H^0(\TX,\CO_{Z'}) = \dim H^0(X,\pi_*\CO_{Z'}) \le \dim H^0(X,\m_P^k/\CJ) < \dim H^0(X,\CO_X/\CJ) = \dim H^0(X,\CO_Z). $$ Остается применить индукцию. \endproof \begin{corr} Всякое бирациональное отображение между гладкими проективными поверхностями раскладывается в композицию раздутий гладких точек и обратных к ним преобразований. \end{corr} \proof{} Пусть $f:X \to X'$ --- бирациональное отображение и $Y \subset X\times X'$ --- его график. Проекция $Y \to X$ является регулярным бирациональным морфизмом, поэтому найдется последовательность раздутий гладких точек $X_n \to \dots \to X_1 \to X$ и регулярный морфизм $X_n \to Y$. Остается разложить композицию $X_n \to Y \to X'$ в виде композиции раздутий гладких точек. \endproof \subsection*{Минимальные модели} При изучении кривых мы показали, что в каждом бирациональном классе существует ровно одна гладкая проективная кривая (таким образом, бирациональная классификация кривых сводится к бирегулярной). Для поверхностей это уже очевидно неверно, так как любую поверхность можно раздуть. Тем не менее, наложив дополнительное ограничение, можно выделить канонический элемент во всяком бирациональном классе. \begin{opr} Гладкая проективная поверхность $X$ называется \emph{минимальной}, если не существует нетривиального регулярного морфизма $X \to X'$ на гладкую поверхность $X'$. \end{opr} Как было показано выше, всякая неминимальная поверхность получается раздутием, поэтому на ней обязательно есть рациональная кривая с индексом самопересечения $-1$ (так называемая \emph{$(-1)$-кривая}, или \emph{исключительная кривая первого рода}). Следующая теорема показывает, что наличие такой кривой равносильно неминимальности. \begin{thm}[Кастельнуово] Пусть $E$ --- гладкая рациональная $(-1)$-кривая на гладкой проективной поверхности $Y$. Тогда существует гладкая проективная поверхность $X$ и точка $P$ на ней, такая что $Y$ изоморфна раздутию $\TX$ в точке $P$, а кривая $E$ является исключительным дивизором раздутия. \end{thm} \proof{} Пусть $H$ --- очень обильный дивизор на $Y$ с условием $H^1(Y,\CO_Y(H)) = 0$, и положим $n = H\cdot E$. Из обильности $H$ следует $n > 0$. Рассмотрим линейную систему $|H + nE|$. Докажем, что эта линейная система не имеет базисных точек. Отсутствие базисных точек вне $E$ очевидно. Так как $(H+nE)\cdot E = 0$, то всякий дивизор из нашей линейной системы либо не пересекается с кривой $E$, либо содержит ее. Таким образом, надо проверить, что в нашей линейной системе найдется дивизор, не содержащий $E$. Рассмотрим точную последовательность $$ 0 \to \CO_Y(H+(n-1)E) \to \CO_Y(H+nE) \to \CO_E \to 0. $$ Из соответствующей точной последовательности когомологий видно, что достаточно проверить, что $H^1(Y,\CO_Y(H+(n-1)E)) = 0$. Докажем по индукции, что $H^1(Y,\CO_Y(H+kE)) = 0$ для $0\le k\le n-1$. База индукции, $k=0$, выполнена по выбору $H$. Шаг индукции следует из точной последовательности когомологий, примененной к $$ 0 \to \CO_Y(H+(k-1)E) \to \CO_Y(H+kE) \to \CO_E(n-k) \to 0, $$ так как $H^{>0}(Y,\CO_E(n-k)) = H^{>0}(\Pp^1,\CO(n-k)) = 0$ при $k\le n$. Рассмотрим отображение, задаваемое линейной системой $|H+nE|$. Обозначим нормализацию его образа через $X$, а индуцированное отображение $Y \to X$ через $\pi$. Так как линейная система $|H+nE|$ обильна вне $E$, отделяет $E$ от других точек поверхности $Y$ и стягивает $E$ в точку (обозначим ее через $P$), то отображение $\pi:Y \to X$ задает изоморфизм $Y \setminus E \cong X \setminus P$. В частности, $X$ гладка вне $P$. Покажем, что $X$ гладка и в $P$. Вычислим для этого пополнение локального кольца $(\CO_{X,P})^\wedge$. Так как $X$ --- нормальна, то $(\CO_{X,P})^\wedge = \ilim H^0(E^{(n)},\CO_{E^{(n)}})$ по теореме о формальных функциях. Воспользуемся точной последовательностью $$ 0 \to \CJ^n_E/\CJ^{n+1}_E \to \CO_{E^{(n+1)}} \to \CO_{E^{(n)}} \to 0 $$ и изоморфизмом $\CJ^n_E/\CJ^{n+1}_E \cong S^n(\CJ_E/\CJ^2_E) = S^n(\CO_E(1)) \cong \CO_E(n)$. Выбирая базис $\{x,y\}$ в $H^0(E,\CO_E(1))$, получаем базис $\{x^n,x^{n-1}y,\dots,xy^{n-1},y^n\}$ в $H^0(E,\CO_E(n))$, откуда по индукции следует, что $H^0(E^{(n)},\CO_{E^{(n)}}) \cong k[x,y]/\m^{n+1}$, где $\m = (x,y)$. Переходя к пределу, получаем $(\CO_{X,P})^\wedge = k[[x,y]]$, значит $X$ гладкая в точке $P$. Теперь остается заметить, что согласно следствию~\ref{factor} морфизм $\pi$ есть композиция раздутий точек. Но $\pi$ стягивает ровно одну кривую, поэтому $\pi$ --- раздутие точки $P$, а $E$ --- исключительный дивизор раздутия. \endproof \begin{corr} Поверхность $X$ минимальна тогда и только тогда, когда на ней нет рациональных $(-1)$-кривых. \end{corr} \begin{corr} Всякая гладкая поверхность бирациональна минимальной поверхности. \end{corr} \proof{} Пусть $X$ --- гладкая поверхность. Если на ней нет рациональных $(-1)$-кривых, она минимальна. Если же такая кривая есть, стянув ее, получим поверхность $X_1$. Повторяя то же рассуждение, получаем последовательность стягиваний $X \to X_1 \to X_2 \to \dots$ и надо лишь проверить, что такая последовательность не может быть бесконечной. В самом деле, в силу упражнения~\ref{h11}, имеем $h^{11}(X_1) = h^{11}(X) - 1$, $h^{11}(X_2) = h^{11}(X_1) - 1$, и т.д., но конечное число $h^{11}(X)$ не может бесконечное число раз уменьшаться на единицу, оставаясь при этом неотрицательным! \endproof Теперь займемся вопросом о единственности минимальной модели. \subsection*{Численная эффективность} \begin{opr} Дивизор $D$ на поверхности $X$ называется \emph{численно эффективным} (по английски \emph{numerically effective} или \emph{nef}), если для всякой кривой $C$ на $X$ выполняется $D\cdot C \ge 0$. \end{opr} \begin{lemma} Если канонический класс на поверхности $X$ численно эффективен, то поверхность $X$ минимальна. \end{lemma} \proof{} Если $X$ не минимальна, то на ней есть рациональная $(-1)$-кривая $E$. По формуле присоединения $-2 = 2g(E)-2 = K\cdot E + E^2 = K\cdot E - 1$, откуда $K\cdot E = -1$, то есть $K$ не является численно эффективным. \endproof \begin{thm} Если $f:X \to Y$ --- бирациональный отображение и $K_Y$ численно эффективен, то $f$ --- регулярно. В частности, если $X$ --- минимальная, то $f$ --- изоморфизм. \end{thm} \proof{} Выберем минимальное представление $f$ в виде композиции раздутий и стягиваний $$ X \leftarrow X_1 \leftarrow \dots \leftarrow X_{n-1} \leftarrow X_n = Y_m \to Y_{m-1} \to \dots \to Y_1 \to Y $$ и пусть $E$ --- исключительный дивизор раздутия $X_n \to X_{n-1}$. Покажем, что кривая $E$ не стягивается морфизмом $g:X_n \to Y$. Действительно, предположим, что $g(E)$ --- точка. Пусть $H$ --- очень обильный дивизор на $Y$. Тогда $g^*H\cdot E = 0$ (выберем дивизор в линейной системе $|H|$, не проходящий через точку $g(E)$). Из теоремы~\ref{itbu} следует, что $g^*H = \pi^*D$, где $\pi:X_n \to X_{n-1}$, а $D$ --- некоторый дивизор на $X_{n-1}$. Заметим, что \begin{multline*} H^0(Y,\CO_Y(H)) \subset H^0({X_n},\CO_{X_n}(g^*H)) = H^0({X_n},\CO_{X_n}(\pi^*D)) \cong \\ \cong H^0(X_{n-1},\pi_*\pi^*\CO_{X_{n-1}}(D)) = H^0({X_{n-1}},\CO_{X_{n-1}}(D)) \end{multline*} в силу упражнения~\ref{pis}. Рассмотрим отображение ${X_n} \to \Pp^N$, заданное пространством глобальных сечений $H^0(Y,\CO_Y(H))$ пучка $\CO_{X_n}(g^*H) = \CO_{X_n}(\pi^*D)$. С одной стороны, оно раскладывается в композицию проекции $X_n \to Y$ и вложения $Y$, заданного линейной системой $|H|$. С другой стороны, оно раскладывается в композицию проекции $X_n \to X_{n-1}$ и морфизма, заданного на $X_{n-1}$ некоторой подсистемой линейной системы $|D|$. Отсюда следует, что последняя линейная система не имеет базисных точек и задает отображение $X_{n-1}$ в проективное пространство, образ которого содержится в $Y$, в это проективное пространство вложенном. В частности, мы получаем морфизм $g':X_{n-1} \to Y$, такой что $g = g'\circ\pi$. Следовательно, представление морфизма $f$ в виде башни раздутий не минимально, что противоречит нашему предположению. Итак, мы показали, что $g(E)$ --- кривая. Так как $K_Y$ --- численно эффективен, получаем $g(E)\cdot K_Y \ge 0$. Докажем по индукции, что $g_k(E)\cdot K_{Y_k} \ge 0$, где $g_k:X_n \to Y_k$ --- проекция. Действительно, пусть $\sigma:Y_k \to Y_{k-1}$ --- раздутие. Тогда $g_k(E)\cdot\sigma^* K_{Y_{k-1}} = \sigma(g_k(E))\cdot K_{Y_{k-1}} = g_{k-1}(E)\cdot K_{Y_{k-1}} \ge 0$ по предположению индукции, значит $g_k(E)\cdot K_{Y_k} = g_k(E)\cdot(\sigma^* K_{Y_{k-1}} + E_k) = g_k(E)\cdot \sigma^* K_{Y_{k-1}} + g_k(E)\cdot E_k$, причем первое слагаемое неотрицательно как доказано выше, а второе --- индекс пересечения различных неприводимых кривых (если $g_k(E) = E_k$, то $g(E)$ --- точка). Итак, по индукции мы получаем $E\cdot K_{Y_m} = E\cdot K_{X_n} \ge 0$. Но $K_{X_n} = \pi^*K_{X_{n-1}} + E$, откуда $E\cdot K_{X_n} = E\cdot (\pi^*K_{X_{n-1}} + E) = E\cdot \pi^*K_{X_{n-1}} + E^2 = E^2 = -1$. Полученное противоречие показывает, что $X = X_n$, значит морфизм $f$ регулярен. \endproof Таким образом, если канонический класс на минимальной поверхности численно эффективен, то она единственна в своем бирациональном классе. Тем не менее, бывают разные бирациональные минимальные поверхности. \begin{exc} Покажите, что $\Pp^2$ и $\Pp^1\times\Pp^1$ минимальны и бирациональны. \end{exc} Однако таких примеров немного. А именно, выполняется \begin{thm} Если $X$ --- минимальная поверхность, а $K_X$ --- не численно эффективен, то либо $X \cong \Pp_B(\CE)$, где $B$ --- кривая, а $\CE$ --- расслоение ранга $2$ на $B$, либо $X\cong \Pp^2$. \end{thm} К сожалению, полное и строгое доказательство этого утверждения весьма длинно, поэтому приведем лишь его набросок. Рассмотрим группу дивизоров по модулю численной эквивалентности $\Num(X)$ (дивизор $D$ численно эквивалентен нулю, если $D\cdot C = 0$ для любой кривой $C$). Это конечно порожденная свободная абелева группа. Рассмотрим в $\Num(X)\otimes\Q$ множество $\Eff(X)$ всех элементов, представимых эффективными дивизорами с рациональными коэффициентами. Ясно, что это конус. Он называется конусом эффективных кривых. Конус $\Eff(X)$ устроен весьма сложно. Однако кое-что сказать о нем можно. Во-первых, если $H$ --- обильный дивизор на $X$, то $\Eff(X)$ лежит в полупространстве $\{D\ |\ D\cdot H\ > 0\}$. Во-вторых, он содержит полуконус $\{D\ |\ D^2 > 0,\ D\cdot H > 0\}$. Действительно, если $D\cdot H > 0$, то $(K - nD)\cdot H < 0$ для $n\gg0$, поэтому $H^2(X,\CO_X(nD)) = H^0(X,\CO_X(K-nD)) = 0$, и по теореме Римана--Роха $\dim H^0(X,\CO_X(nD)) \ge \chi(\CO_X(nD)) = \frac12n^2D^2 + \dots > 0$ при $n\gg0$. Таким образом $nD$ эффективен при $n\gg0$, а значит $D\in\Eff(X)$. При этом конус $\Eff(X)$ может содержать и векторы с отрицательным квадратом. Заметим, однако, что пересечение $\Eff(X)\cap\{D\ |\ D\cdot K < 0\}$ не содержит векторов с отрицательным квадратом, если поверхность $X$ минимальна. Действительно, если $D^2 < 0$, то найдется неприводимая компонента $E$ дивизора $D$, такая что $E\cdot K < 0$ и $E^2 < 0$. Из формулы присоединения тогда следует, что $E$ --- рациональная $(-1)$-кривая, что противоречит минимальности поверхности $X$. Итак, $\overline{\Eff(X)}\cap\{D\ |\ D\cdot K < 0\} = \{D\ |\ D\cdot H > 0,\ D\cdot K < 0,\ D^2\ge 0\}$. Можно показать, что если $\rk(\Num(X)) \ge 2$, то найдется целочисленный дивизор $D$ на границе, то есть $D^2 = 0$, $D\cdot H > 0$, $D\cdot K < 0$. Рассуждая как и выше, получаем $\dim H^0(X,\CO_X(nD)) \ge \chi(\CO_X(nD)) = -\frac12nD\cdot K + \dots > 0$ при $n\gg0$. Значит $nD$ эффективен и даже подвижен. Так как $(nD)^2 = 0$, линейная система $|nD|$ не имеет базисных точек и задает морфизм $f:X \to \Pp^N$. Пусть $X \to B \to \Pp^N$ --- факторизация Штейна морфизма $f$. Ясно, что $B$ --- кривая. Пусть $F$ --- слой морфизма $X \to B$. Ясно, что $mF = D$, поэтому $F^2 = 0$, $F\cdot K < 0$. Кроме того, $F$ неприводим (если $F = F_1\cup F_2$, то $0 = F_i\cdot F = F_i^2 + F_i\cdot F_j > F_1^2$, то есть $F_1^2< 0$ или $F_2^2 < 0$, что невозможно, так как $F_i$ эффективны и либо $F_1\cdot K < 0$, либо $F_2\cdot K < 0$). Применяя к $F$ формулу присоединения заключаем, что $F$ --- гладкая рациональная кривая. Итак, мы построили гладкий морфизм $X \to B$ со слоем $\Pp^1$. Можно показать, что всякий такой морфизм есть проективизация векторного расслоения ранга $2$. \begin{exc} Пусть $f:X \to B$ --- гладкий морфизм, каждый слой которого изоморфен $\Pp^1$, а $B$ --- кривая. Докажите, что\\ $(i)$ морфизм $f$ представляется в виде композиции $X \stackrel{i}\to \Pp_B(\CV) \to B$, где $\CV$ --- расслоение ранга $3$, $i$ --- замкнутое вложение, а слои $X_b$ --- коники в $\Pp(\CV_b)$ (указание: $\CV = f_*(\omega_X^{-1})^*$);\\ $(ii)$ если $b_0$ --- общая точка $B$, то коника $X_{b_0} \subset \Pp(\CV_{b_0})$ имеет точку (теорема Тзена);\\ $(iii)$ морфизм $f:X \to B$ обладает сечением, то есть существует морфизм $s:B \to X$, такой что $f\circ s = \id_B$;\\ $(iv)$ если $\CE = (f_*\CO_X(s(B)))^*$, то $X \cong \Pp_B(\CE)$. \end{exc} Если же $\rk(\Num(X)) = 1$, то можно показать, что $X \cong \Pp^2$. \subsection*{Линейчатые поверхности} Поверхности вида $X = \Pp_B(\CE)$, где $B$ --- кривая, а $\CE$ --- расслоение ранга $2$ называются \emph{линейчатыми}. Изучим линейчатые поверхности над кривой $B = \Pp^1$. \begin{prop} Пусть $\CE$ --- расслоение ранга $2$ на $\Pp^1$. Тогда $\CE \cong \CO_{\Pp^1}(a) \oplus \CO_{\Pp^1}(b)$. \end{prop} \proof{} При $n\gg 0$ расслоение $H^0(\Pp^1,\CE(-n)) = H^1(\Pp^1,\CE^*(2+n))^* = 0$, а при $n\ll0$ --- $H^0(\Pp^1,\CE(-n)) \ne 0$. Пусть $b$ --- максимальное $n$, такое что $H^0(\Pp^1,\CE(-n)) \ne 0$. Рассмотрим вложение $\phi:\CO_{\Pp^1}(b) \to \CE$. Если бы в какой-то точке $P\in\Pp^1$ отображение $\phi$ равнялось бы нулю, то оно бы раскладывалось в композицию $\CO_{\Pp^1}(b) \stackrel{P}\to \CO_{\Pp^1}(b+1) \stackrel{\phi'}\to \CE$ (локально морфизм $\phi$ --- это пара функций $\phi_1,\phi_2$; если $\phi_1,\phi_2 \in \m_P$, то $\phi_1 = \phi_1' t$, $\phi_2 = \phi_2' t$, где $t$ --- униформизующая локального кольца точки $P$, так что $\phi = \phi'\circ t$). Но по определению числа $b$ такое невозможно, поэтому в каждой точке $P$ морфизм $\phi$ нетривиален. Рассмотрим пучок $\CL = \Coker \phi$. Согласно приведенному ниже упражнению пучок $\CL$ локально свободен. При этом $\rk(\CL) = 1$, значит $\CL \cong \CO_{\Pp^1}(a)$. Подкручивая точную последовательность $0 \to \CO_{\Pp^1}(b) \to \CE \to \CO_{\Pp^1}(a) \to 0$ на $\CO_{\Pp^1}(-b-1)$ находим $0 = H^0(\Pp^1,\CE(-b-1)) = H^0(\Pp^1,\CO_{\Pp^1}(a-b-1))$, значит $a\le b$. Остается заметить, что $\Ext^1(\CO_{\Pp^1}(a),\CO_{\Pp^1}(b)) = H^1(\Pp^1,\CO_{\Pp^1}(b-a)) = 0$, поэтому точная последовательность расщепляется и $\CE \cong \CO_{\Pp^1}(b)\oplus\CO_{\Pp^1}(a)$. \endproof \begin{exc} Пусть $\phi:\CF \to \CE$ --- вложение локально свободных пучков, $\CG = \Coker\phi$. Покажите, что $\CG$ локально свободен тогда и только тогда, когда морфизм $\phi$ является вложением в каждой точке (указание: $\Tor_1(\CG,\CO/\m_P) = \Ker \phi_P$). \end{exc} \begin{exc} Пусть $\CF$ и $\CG$ --- локально свободные пучки. Докажите, что классы изоморфизма расширений $0 \to \CF \to \CE \to \CG \to 0$ находятся во взаимно однозначном соответствии с пространством $H^1(\CG^*\otimes\CF)/(\Aut\CF\times\Aut\CG)$ (указание: зафиксируйте аффинное покрытие $\{U_\alpha\}$, над каждым из $U_\alpha$ выберите расщепление $s_\alpha\in\Gamma(U_\alpha,\CG^*\otimes\CE)$ и покажите, что найдутся $\epsilon_{\alpha\beta} = s_\alpha - s_\beta \in \Gamma(U_\alpha\cap U_\beta,\CG^*\otimes\CF)$). \end{exc} \begin{rem} Доказанная лемма является частным случаем теоремы Гротендика, утверждающей, что всякий локально свободный пучок на $\Pp^1$ является прямой суммой обратимых пучков (доказажите ее индукцией по рангу!). Другое обобщение состоит в том, что всякий локально свободный пучок на кривой является расширением обратимых пучков. \end{rem} Так как $\Pp_{\Pp^1}(\CE) \cong \Pp_{\Pp^1}(\CE(m))$, можно считать, что $\CE = \CO_{\Pp^1} \oplus \CO_{\Pp^1}(-n)$. Соответствующая поверхность $\Pp_{\Pp^1}(\CO_{\Pp^1} \oplus \CO_{\Pp^1}(-n))$ называется $n$-ой поверхностью Хирцебруха и обозначается $\Sigma_n$. Обозначим через $E$ --- сечение проекции $\Sigma_n \to \Pp^1$, соответствующее вложению $\CO_{\Pp^1} \to \CO_{\Pp^1} \oplus \CO_{\Pp^1}(-n)$, а через $F$ --- ее слой. \begin{lemma} Имеем $\Pic\Sigma_n = \Z E \oplus \Z F$, $F^2 = 0$, $E\cdot F = 1$, $E^2 = -n$. \end{lemma} \proof{} Из точной последовательности $\ZZ E \oplus \ZZ F \to \Pic \Sigma_n \to \Pic(\Sigma_n \setminus (E\cup F)) \to 0$ и изоморфизма $\Sigma_n \setminus (E\cup F) \cong \A^2$ видно, что группа $\Pic\Sigma_n$ порождается классами $E$ и $F$, так что остается проверить их независимость. Вычислим вначале индексы пересечения. Формулы $F^2 = 0$ и $E\cdot F = 1$ очевидны (разные слои линейно эквивалентны и не пересекаются; всякий слой трансверсально пересекает $E$ в одной точке). Далее заметим, что сечение $E'$, соответствующее вложению $\CO_{\Pp^1}(-n) \to \CO_{\Pp^1} \oplus \CO_{\Pp^1}(-n)$ лежит в линейной системе $E+nF$ и при этом не пересекает $E$. Значит $0 = E\cdot(E+nF) = E^2 + nE\cdot F = E^2 + n$, то есть $E^2 = -n$. Покажем теперь, что $E$ и $F$ линейно независимы. Пусть $xE + yF = 0$. Умножая на $F$ получаем $x = 0$, а умножая на $E'$ получаем $y = 0$. \endproof \begin{exc} Покажите, что $K_{\Sigma_n} = -2E - (n+2)F$. \end{exc} \begin{exc} Пусть $D$ --- эффективный дивизор на $\Sigma_n$ с $D^2 = -1$. Покажите, что\\ $(i)$ $D \sim E + \frac{n-1}2 F$;\\ $(ii)$ всякий дивизор $D\in|E+mF|$, где $0\le m < n$, имеет вид $D = E + F_1 + \dots + F_m$;\\ $(iii)$ поверхность $\Sigma_n$ минимальна, если $n\ne 1$. \end{exc} Таким образом, минимальные модели рациональных поверхностей исчерпываются проективной плоскостью и поверхностями $\Sigma_n$, $n\ne 1$. Пусть теперь $B$ --- кривая рода $g > 0$, а $\CE$ --- расслоение ранга $2$ на $B$. \begin{lemma} Поверхность $X = \Pp_B(\CE)$ минимальна и бирациональна произведению $B\times\Pp^1$. \end{lemma} \proof{} Пусть $C$ --- рациональная кривая на $X$. Проекция $C \to B$ не может быть доминантна, так как иначе $g(B) = 0$ по теореме Люрота. Значит $C$ --- слой и $C^2 = 0$. Значит на $X$ нет $(-1)$-кривых, то есть $X$ минимальна. Второе утверждение очевидно. \endproof \subsection*{Кодаирова размерность и классификация поверхностей} Кодаирова размерность $\kappa(X)$ многообразия $X$ определяется следующим образом. Для каждого $n > 0$ рассмотрим полную линейную систему $|nK|$. Если она пуста при всех $n$, положим $\kappa(X) = -1$. Иначе пусть $\kappa(X)$ --- максимум по $n$ размерности образа рационального отображения $X \to \Pp^N$, задаваемого линейной системой $|nK|$. Ясно, что $-1 \le \kappa(X) \le \dim X$. \begin{exc} Докажите, что $P_n(X) \sim C n^{\kappa(X)}$ при $n\to\infty$. \end{exc} \begin{exc} Пусть $C$ --- кривая рода $g$. Докажите, что $\kappa(C) = -1$, если $g = 0$; $\kappa(C) = 0$, если $g = 1$; и $\kappa(C) = 1$, если $g \ge 2$. \end{exc} \begin{thm} Пусть $X$ --- минимальная поверхность кодаировой размерности $\kappa$. Тогда \begin{itemize} \item если $\kappa = -1$, то $X = \Pp^2$ или $X$ --- линейчатая; \item если $\kappa = 0$, то либо \begin{itemize} \item $X$ --- поверхность типа $K3$, т.е. $K_X = 0$, $q = 0$; \item $X$ --- абелева поверхность, т.е. $K_X = 0$, $q = 2$; \item $X$ --- фактор абелевой или $K3$-поверхности по свободному действию конечной группы; \end{itemize} \item если $\kappa = 1$, то $X$ --- эллиптическая поверхность, т.е. существует морфизм $X \to B$, все слои которого --- гладкие эллиптичческие кривые; \item если $\kappa = 2$, то $X$ --- поверхность общего типа. \end{itemize} \end{thm} \begin{exc} Покажите, что следующие поверхности имеют тип $K3$:\\ $(i)$ двулистное накрытие $\Pp^2$ с ветвлением в кривой степени $6$;\\ $(ii)$ квартика в $\Pp^3$;\\ $(iii)$ пересечение квадрики и кубики в $\Pp^4$;\\ $(iv)$ пересечение трех квадрик в $\Pp^5$. \end{exc} \begin{exc} Пусть $X = B\times C$ --- произведение кривых. Покажите, что\\ $(i)$ если $g(B) = g(C) = 0$, то $X = \Sigma_0$;\\ $(ii)$ если $g(B) = 0 < g(C)$, то $X$ --- линейчатая;\\ $(iii)$ если $g(B) = g(C) = 1$, то $X$ --- абелева поверхность;\\ $(iv)$ если $g(B) = 1 < g(C)$, то $X$ --- эллиптическая поверхность, $\kappa(X) = 1$;\\ $(v)$ если $g(B),g(C) \ge 2$, то $X$ --- поверхность общего типа. \end{exc} \end{document} \subsection*{Классификация поверхностей} Пусть $X$ --- произвольное проективное многообразие. Рассмотрим градуированное кольцо $A_X = \oplus_{m=0}^\infty H^0(X,\CO_X(mK_X))$. Оно называется \emph{каноническим кольцом} многообразия $X$. \subsection*{Линейчатые поверхности} \begin{lemma} Пусть $\pi:\TX \to X$ --- раздутие гладкого подмногообразия $Z \subset X$ коразмерности $2$. Тогда $h^{ij}(\TX) = h^{ij}(X) + h^{i-1,j-1}(Z)$. \end{lemma} \proof{} Рассмотрим дивизор $E$. Обозначим проекцию $E \to Z$ через $\pi_E$, а вложение $E \to \TX$ через $i$. Применяя к точной последовательности $0 \to \pi_E^*\Omega_Z \to \Omega_E \to \Omega_{E/Z} \to 0$ функтор $\Lambda^p$ получаем точную последовательность $0 \to \pi_E^*\Omega^p_Z \to \Omega^p_E \to \pi_E^*\Omega^{p-1}_Z\otimes\Omega_{E/Z} \to 0$. Рассмотрим теперь композицию эпиморфизмов $i^*\Omega^p_\TX = \Omega^p_{\TX|E} \to \Omega^p_E \to \pi_E^*\Omega_Z^{p-1}\otimes\Omega_{E/Z}$. По сопряженности ей соответствует морфизм $\Omega^p_\TX \to i_*(\pi_E^*\Omega^{p-1}_Z\otimes\Omega_{E/Z})$. Докажем, что имеет место точная последовательность $$ 0 \to \pi^*\Omega^p_X \to \Omega^p_\TX \to i_*(\pi_E^*\Omega^{p-1}_Z\otimes\Omega_{E/Z}) \to 0, $$ Композиция морфизмов --- нулевая, так как образ пучка $i^*\pi^*\Omega^p_X = \pi_E^*\Omega^p_{X|Z}$ в $\Omega^p_E$ лежит в $\pi_E^*\Omega^p_Z$. Точность последовательности справа очевидна. Точность слева тоже легко проверяется (пучок $\pi^*\Omega_X$ локально свободен, а морфизм $\pi$ в общей точке является изоморфизмом). Точность посередине следует из приведенного ниже упражнения. \endproof \begin{exc} Пусть $D$ --- гладкий дивизор на гладком многообразии $Y$, $i:D \to Y$ --- вложение, а $\CG$ --- локально свободный пучок ранга $r$ на $D$. Докажите, что\\ $(i)$ $\Tor_{\ge 2}(i_*\CG,-) = 0$;\\ $(ii)$ если $\CF \to i_*\CG$ --- эпиморфизм, и $\CF$ --- локально свободен, то $\CF' = \Ker(\CF \to i_*\CG)$ --- локально свободен и $\det\CF'\cong\det\CF(-rD)$;\\ $(iii)$ если $\CE \stackrel\phi\to \CF'$ --- вложение локально свободных пучков и $\det\CE \cong \det\CF'$, то $\phi$ изоморфизм;\\ $(iv)$ если $0 \to \CE \to \CF \to i_*\CG \to 0$ --- точная по краям последовательность, $\CE$ и $\CF$ локально свободны и $\det\CE\cong\det\CF(-rD)$, то последовательность точна и посередине. \end{exc}