\documentclass[10pt,leqno]{article} \usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem} \long\def\comment#1\endcomment{} %%%%% Theorem style with a dot at the end of the header \makeatletter \begingroup \gdef\th@dotted{\normalfont\itshape \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{dotted} \newtheorem{theorem}{Теорема}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма} \newtheorem{conjecture}[theorem]{Гипотеза} \newtheorem{prop}[theorem]{Предложение} \newtheorem{corr}[theorem]{Следствие} \newtheorem{sch}[theorem]{Факт} %%%%% Same for definitions \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{upshape} \newtheorem{defn}[theorem]{Определение} \newtheorem{remark}[theorem]{Замечание} \newtheorem{example}[theorem]{Пример} %%%%% Redefinition of sections \makeatletter \renewcommand{\subsection}{\@startsection{subsection}{2}{0pt}{-3ex plus -1ex minus -0.2ex}{-2mm plus -0pt minus -2pt}{\normalfont\bfseries}} \renewcommand{\subsubsection}{\@startsection{subsubsection}{2}{0pt}{-3ex plus -1ex minus -0.2ex}{-2mm plus -0pt minus -2pt}{\normalfont\bfseries}} \makeatother %%%%% Odds and ends \def\today{} \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \makeatother \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}} \def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip} \renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}} \let\latexref=\ref \def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}} \newcommand{\wt}{\widetilde} \newcommand{\wh}{\widehat} \newcommand{\ratto}{\dasharrow} % rational map \newcommand{\onto}{\twoheadrightarrow} % surjection \setlength{\unitlength}{1pt} \newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % The dot which looks good as index for homology groups % \newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % Same for cohomology % %%%%% Letters and operators \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\kk}{{\sf k}} \newcommand{\Grp}{\Gamma} \newcommand{\grp}{\gamma} \newcommand{\tw}{ {(1)} } %\newcommand{\tw}{ {}^{(1)} } \newcommand{\fmod}{{\text{\rm -mod}^{\text{{\tt\tiny fg}}}}} \newcommand{\A}{{\mathcal A}} \newcommand{\B}{{\mathcal B}} \newcommand{\CA}{{\mathcal A}} \newcommand{\C}{{\mathcal C}} \newcommand{\E}{{\mathcal E}} \newcommand{\F}{{\mathcal F}} \newcommand{\D}{{\mathcal D}} \newcommand{\G}{{\mathcal G}} \newcommand{\W}{{\mathcal W}} \newcommand{\T}{{\mathcal T}} \newcommand{\X}{{\mathfrak X}} \newcommand{\bW}{{\sf W}_h} \newcommand{\bWbar}{{\sf W}} \newcommand{\bO}{{\sf O}} \newcommand{\Zet}{{\mathbb Z}} \newcommand{\Qu}{{\mathbb Q}} \newcommand{\R}{{\mathcal R}} \newcommand{\Z}{{\mathcal Z}} \newcommand{\To}{\longrightarrow} \newcommand{\Lotimes}{\overset{\rm L}{\otimes}} \newcommand{\imbed}{\hookrightarrow} \newcommand{\sur}{\twoheadrightarrow} \newcommand{\iso}{{\widetilde\longrightarrow}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{\sf dim}} \newcommand{\codim}{\operatorname{\sf codim}} \newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\id}{\operatorname{\sf id}} \newcommand{\rk}{\operatorname{\sf rk}} \newcommand{\tr}{\operatorname{\sf tr}} \newcommand{\Fr}{\operatorname{\sf Fr}} \newcommand{\FrN}{\operatorname{\it Frob}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}} \newcommand{\Coh}{\operatorname{Coh}} \newcommand{\spec}{\operatorname{{\cal S}{\it pec}}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\RHom}{\operatorname{RHom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\eend}{\operatorname{{\mathcal E}{\it nd}}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\Hilb}{\operatorname{Hilb}} \newcommand{\uHom}{{{\mathcal H}{\it om}}} \newcommand{\uEnd}{{{\mathcal E}{\it nd}}} \newcommand{\uuHom}{{\sf Hom}} \newcommand{\bbS}{{\mathbb S}} \newcommand{\Db}{D^b} \newcommand{\oplusl}{\bigoplus\limits} \newcommand{\cupl}{\bigcup\limits} \newcommand{\capl}{\bigcap\limits} \newcommand{\suml}{\sum\limits} \newcommand{\prodl}{\prod\limits} \newcommand{\gl}{{\mathfrak gl}} \newcommand{\Gm}{{\mathbb{G}_m}} \newcommand{\g}{{\mathfrak g}} \newcommand{\ssp}{{{\mathfrak s}{\mathfrak p}}} \newcommand{\m}{{\mathfrak m}} \newcommand{\Jtil}{\widetilde{J}} \newcommand{\K}{{\sf K}} \newcommand{\sllash}{/\!\!\,/} \hyphenation{Fro-b-en-i-us-con-stant} \title{Эквивалентность Маккея для симплектических разрешений факторособенностей} \author{Р. Безрукавников и Д. Каледин} \def\today{{\em Памяти Андрея Николаевича Тюрина.}} \begin{document} \maketitle %\tableofcontents \section{Введение.} Пусть $\K$ -- алгебраически замкнутое поле характеристики $0$, $V$ -- конечномерное векторное пространство над $\K$, снабженное невырожденной кососимметрической формой $\omega\in \Lambda^2(V^*)$, а $\Grp\subset Sp(V)$ -- конечная подгруппа. Предположим, что дано разрешение особенностей фактормногообразия $\pi:X\to V/\Grp$ такое, что симплектическая форма продолжается с гладкой части $V/\Grp$ до невырожденной замкнутой $2$-формы $\Omega \in H^0(\Omega^2_X)$. Цель настоящей работы -- доказать следующий результат. \begin{theorem}\label{main} Существует эквивалентность $\calo_V^\Grp$-линейных триангулированных категорий $D^b(\Coh(X))\cong D^b(\Coh^\Grp(V))$. \end{theorem} Гипотеза такого типа впервые была сформулирована М. Ридом \cite{reid}; более общее утверждение было недавно высказано в качестве гипотезы А. Бондалом и Д. Орловым \cite[\S 5]{BO}. В случае $\dim(V)=2$ подобная эквивалентность хорошо известна, \cite{KV}, \cite{SV}; наше общее доказательство опирается на эти результаты. Недавно утверждение, подобное нашему, было доказано Т. Бриджландом, А. Кингом и М. Ридом \cite{BKR} для крепантных разрешений горенштейновых факторов векторных пространств размерности $3$. Подход, использованный в \cite{BKR}, весьма элегантен, но работает, к сожалению, только в $\dim 3$. Наша работа -- это попытка обобщить в высшие размерности если не подход, то хотя бы сам результат. Наш метод работает только для симплектических факторособенностей, а не для любых горенштейновых. Заметим, однако, что наше дополнительное условие на разрешение не ограничительно -- на самом деле всякое крепантное разрешение $X$ симплектической факторособенности снабжено невырожденной симплектической формой (см. \cite{Ka}). Доказательство использует редукцию в простую характеристику и квантование симплектического многообразия $X_{\kk}$ над полем $\kk$ характеристики $p>0$. Наш метод основан на результатах \cite{MR}. Ключевое ингредиент доказательства -- квантование $X_{\kk}$, глобальные сечения которого совпадают со стандартным квантованием $H^0(\calo_X) = H^0(V,\calo_V)^\Grp$. Мы имеем в виду под этим такую деформацию структурного пучка $\calo_X$ в пучок некоммутативных $\kk[[h]]$-алгебр $\calo_h(X)$, что алгебра глобальных сечений $H^0(X,\calo_h)$ отождествляется с подалгеброй $\W^\Grp \subset \W$ $\Grp$-инвариантных векторов в (пополненной) алгебре Вейля $\W$ векторного пространства $V$. Оказывается, что над общей точкой $\Spec(\kk[[h]])$ квантованная алгебра $\calo_h$ представляет собой алгебру Адзумая на $X^\tw$, фробениус-подкруткой $X$; также она дает алгебру Адзумая на $X^\tw_\kk$. Категория модулей над последней есть категория когерентных пучков на каком-то джербе над $X^\tw$. Затем замечаем, что вышеописанная алгебра Адзумая на $X^\tw$ {\em аффинна в производном смысле}, т.е. производный функтор от функтора глобальных сечений дает эквивалентность между производной категорией пучков модулей и производной категорией модулей над ее глобальными сечениями; причем алгебра глобальных сечений отождествляется с $\bWbar^\Grp$, где $\bWbar$ -- редукция алгебры Вейля в точке $h=1$. Более того, для больших $p$ имеем эквивалентность Морита между $\bWbar^\Grp$ и $\bWbar\#\Grp$, скрученным произведением $\bWbar$ и $\Grp$. Таким образом получаем эквивалентность между $D^b(\W\#\Grp\fmod)$ и производной категорией модулей над алгеброй Адзумая на $X^\tw$. Алгебра $\bWbar$ -- алгебра Адзумая на $V^\tw$; тем самым, последняя эквивалентность отличается от требуемой на, грубо говоря, подкрутку на какой-то джерб. Затем, используя норменное отображение на группах Брауера, переходим от пучков на джербе к когерентным пучкам на соответствующем многообразии. Так строится эквивалентность над полем $\kk$ большой положительной характеристики; над полем характеристики ноль требуемое утверждение выводится с помощью стандартной процедуры. \medskip Из Теоремы~\ref{main} следует, более-менее непосредственно, что любое крепантное разрешение $X$ факторособенности $V/\Grp$ -- пространство модулей $\Grp$-эквивариантных артиновых пучков на $V$, удовлетворяющих какому-либо условию типа стабильности (то, что сейчас принято называть {\em $G$-созвездиями}). Это важная тема, которая заслуживает дальнейшего изучения; однако, указать условие типа стабильности точно -- нетривиальная задача, которую мы предпочли отложить до будущей отдельной статьи. Среди прочего, в случае $X = \Hilb^n({\mathbb A}^2)$, схемы Гильберта $n$ точек на аффинной плоскости, эти рассуждения должны давать прямое, невычислительное доказательство так называемой $n!$-Гипотезы, доказанной недавно М. Хайманом \cite{Haim}. Заметим также, что, как только известно, что $X$ -- пространство модулей $G$-созвездий, Теорему~\ref{main} можно доказать методом \cite{BKR}; это, однако, довольно бессмысленно, поскольку для того, чтобы придать произвольному разрешению $X$ модулярный смысл, уже нужно использовать Теорему~\ref{main}. Следует отметить, что \cite[Corollary 1.3]{BKR} в этом смысле весьма обманчиво, потому что на самом деле предполагает, что разрешение есть $G$-схема Гильберта (хотя это вообще не упомянуто в формулировке, и видно только из обозначений, которые введенны где-то на предыдущей странице). \medskip Легко видеть, что категория $\Grp$-эквивариантных когерентных пучков на $V$ эквивалентна категории конечно-порожденных модулей над некоторой некоммутативной алгеброй. Недавно Б. Келлер \cite{kel} ввел определение так называемых групп {\em гомологий Хохшильда} абелевой категории. Гомологии Хохшильда категории конечно-порожденных модулей над алгеброй равны гомологиям Хохшильда алгебры; в частности, группа гомологий $HH_k$ тривиальная про $k < 0$. С другой стороны, группа гомологий Хохшильда $HH_k$ категории когерентных пучков на гладком алгебраической многообразии $X$ над полем характеристики $0$ изоморфна сумме $H^{p-k}(X,\Omega^p_X)$. Но определение Келлера инвариантно по отношению к функторам, которые индуцируют эквивалентность производных категорий. Поэтому из Теоремы~\ref{main} следует, что $H^p(X,\Omega^q_X) = 0$ для $p > q$. В симплектическом случае это сводится к более привычному $H^p(X,\Omega^q_X) = 0$, $p+q > \dim X$, и это было доказано в \cite{K3} (причем мы используем этот факт в доказательстве Теоремы~\ref{main}). В общем случае, однако, требуемое обращение в ноль весьма сильно, и выглядит очень странно. Из-за этого возникают сомнения в том, что Теорема~\ref{main} верна для крепантных разрешений общих горенштейновых факторособенностей $V/\Grp$. \subsection{Обозначения.}\label{nota} Пара $\langle V,\omega\rangle$ -- симплектическое векторное пространство, $\Grp\subset Sp(V)$ -- конечная подгруппа, $\pi:X\to V/\Grp$ -- фиксированное разрешение особенностей такое, что $\omega$ продолжается до симплектической формы на всем $X$, $\eta: V\to V/\Grp$ -- естественная проекция. Групповая алгебра группы $\Grp$ с коэффициентами в кольце $R$ обозначается через $R[\Grp]$. Для произвольной $\kk$-алгебры $A$, снабженной действием $\Grp$, определяем {\em скрученное произведение} $A \# \Grp$ как алгебру, которая совпадает с $A[\Grp]$ как векторное пространство, а умножение в ней определяется тождеством $$ (a_1 \cdot \gamma_1)(a_2 \cdot \gamma_2) = a_1a_2^{\gamma_1} \cdot \gamma_1\gamma_2, \qquad a_1,a_2 \in A, \gamma_1,\gamma_2 \in \Grp. $$ Алгебра Вейля $\bW$ определяется как $$ \bW=\kk[h]\langle V^*\rangle/\left( xy-yx=h\omega^{-1}(x,y)\right); $$ формальная алгебра Вейля $\W$ -- $h$-адическое пополнение $\bW$. Мы определяем в $V$ $\Grp$-подсхемы $V_i\subset V$ как $$ V_i=\{v\in V\ |\ \dim V^{Stab_\Grp(v)}\leq 2i+\dim V^\Grp\}, $$ и полагаем $X_i=\pi^{-1}(V_i/\Grp)$ (все это на самом деле будет использовано только для $i=0,1$). Для коммутативной алгебры $\calo$ характеристики $p$ полагаем $\calo^p=\{f^p\ |\ f\in \calo\}$. Для схемы $X$ над полем характеристики $p$, за $X^\tw$ обозначается фробениус-скручивание $X$, а за $\Fr:X\to X^\tw$ -- отображение Фробениуса. В наших приложениях, $X$ всегда будет приведено; в этом случае $X^\tw =\langle X, \calo_X^p \rangle$. Более того, базовое поле будет совершенным, так что скручивание $X^\tw$ изоморфно $X$ как абстрактная схема; однако зачастую удобно различать их на уровне обозначений. Если $\A$ -- алгебра Адзумая на схеме $X$, то через $\Coh(X,\A)$ мы будем обозначать категорию когерентных пучков $\A$-модулей. \subsection{Благодарности.} Мы хотели бы поблагодарить Д. Аринкина, В. Вологодского, В. Гинзбурга, А. Кузнецова и М. Финкельберга за дружескую помощь в разных математических вопросах (в частности, Замечание~\ref{rem_pro_BKR} нам указал Кузнецов). Второй автор хотел бы поблагодарить проф. М. Лена за полезные обсуждения. Наконец, мы должны признать интеллектуальный долг перед И. Мирковичем и Д. Румыниным. Настоящая статья, по крайней мере частично, возникла как попытка выделить адекватный геометрический контекст для их идей по геометрии и теории представлений в положительной характеристике. Несколько лет назад первый автор сделал доклад на семинаре отдела алгебры МИРАН им. Стеклова, где рассказал о результах Мирковича и Румынина, и предложил, с некоторый скептицизмом, возможные их обобщения; в сущности, настоящая статья есть реализация намеченной тогда программы. На докладе присутствовал А.Н. Тюрин, который немедленно поверил в наши смутные предположения, и с энтузиазмом их поддержал. Настоящая работа подтверждает его правоту. К сожалению, рассказать Андрею Николаевичу о полученных результатах нам не пришлось. \section{Почти исключительные объекты.} Цель этого раздела -- показать, что Теорема~\ref{main} в значительной степени вытекает из совершенно общих гомологических аргументов. \begin{defn} Ненулевой объект $M$ абелевой категории называется {\it почти исключительным} если $\Ext^i(M,M)=0$ про $i > 0$, а алгебра $\End(M)$ имеет конечную гомологическую размерность. \end{defn} \begin{prop}\label{CYProp} Пусть $Y$ -- гладкое неприводимое многообразие над полем $k$, имеющее тривиальный канонический класс; предположим, что существует собственный морфизм из $Y$ в аффинное $k$-многообразие $S$. Пусть $\A$ -- алгебра Адзумая на $Y$. Если $\E\in \Coh(X,\A)$ -- почти исключительный объект, то функтор $\F\mapsto\RHom^\hdot(\E,\F)$ из производной категории $D^b(\Coh(X,\A))$ в производную категорию $D^b(\End(\E)^{op}\fmod)$ конечно-порожденных $\End(\E)$-модулей представляет собой эквивалентность категорий. \end{prop} Предложение~\ref{CYProp}, примененное к $\A=\calo$, немедленно показывает, что для доказательства Теоремы~\ref{main} достаточно доказать следующее. \begin{theorem}\label{evb} Существует такое векторное расслоение $\E$ на $X$, что \begin{enumerate} \item $\calo_V^\Grp$-алгебра $\End(\E)$ изоморфна скрученному произведению $\calo_V \# \Grp$, \item $\Ext^i(\E,\E)=0$ при $i > 0$. \end{enumerate} \end{theorem} Эту теорему мы и будем доказывать в оставшейся части статьи, после того, как в Подразделе~\ref{pf.CY} докажем Предложение~\ref{pf.CY} (чтобы избежать путаницы между левыми и правыми модулями, заметим сразу, что, поскольку $V \cong V^*$ как $\Grp$-модуль, имеем $(\calo_V\#\Grp)^{op}\cong\calo_V\#\Grp$). Кроме того, в Подразделе~\ref{rg} мы покажем, что почти исключительные объекты обладают значительной жесткостью, так что, в сущности, достаточно построить расслоение $\E$ после редукции в простую характеристику. \begin{remark} Можно показать, что условия на векторное расслоение $\E$ в Теоремеъ\ref{evb} эквивалентны следующим: \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\alph{enumi})}} \item $\E_{X_0}\cong \pi^*\eta_*(\calo)|_{X_0}$ \item $\Ext^i(\E,\E)=0$ for $i>0$, и $\End(\E)\iso \End(\E|_{X_0})$. \end{enumerate} \end{remark} \subsection{Категории Калаби-Яу.}\label{CY} Напомним некоторые общие факты гомологической алгебры. За подробностями отсылаем к статье \cite{BK}. Пусть дано поле $k$. Говорят, что $k$-линейная триангулированная категория имеет {\em конечный тип}, если для любых двух объектов $X,Y\in D$ пространство $\Ext^\hdot(X,Y)= \bigoplus_{i\in \Zet} \Hom(X,Y[i])$ конечномерно. Для такой категории Бондал и Капранов \cite{BK} определяют {\it функтор Серра} как набор из (ковариантной) автоэквивалентности $S:D\to D$ и изоморфизма $\Hom(X,Y)\cong \Hom(Y,S(X))^*$, зафиксированных для любых $X,Y\in D$ и удовлетворяющих определенным условиям. Если функтор Серра существует, то он единственный с точностью до единственного изоморфизма. Например, если $D$ -- ограниченная производная категория когерентных пучков на гладком проективном многообразии $X$ над $k$, то $F\mapsto F\otimes K_X [\dim X]$ -- функтор Серра для $D$ (где $K_X$ -- каноническое линейное расслоение). Нам понадобится небольшое обобщение этого понятия. Пусть $\calo$ -- конечно-порожденная коммутативная алгебра над полем, и пусть $D$ -- $\calo$-линейная триангулированная категория; кроме того, предположим, что дан функтор $\uuHom: D^{op}\times D\to D^b(\calo\fmod)$ и функториальный изоморфизм $\Hom(X,Y)\cong H^0(\uuHom(X,Y))$; набор таких данных будем называть {\em сильной $\calo$-категорией}. Триангулированная категория $D^b(\calo\fmod)$ снабжена канонической анти-автоэквивалентностью, а именно, двойственностью Гротендика-Серра \cite{Ha}. Обозначим этот функтор через $\bbS$; итак, $\bbS: \F\mapsto R\uHom(\F,\D)$, где $\D$ -- дуализующий пучок Гротендика, а $\uHom$ обозначает внутренний $Hom$. \begin{defn} {\it Функтор Серра по отношению к $\calo$} (или просто {\em $\calo$-функтор Серра}) -- это набор из (ковариантной) автоэквивалентности $S:D\to D$ и естественного (функториального) изоморфизма $\uuHom(X,Y)\cong \bbS(\uuHom(Y,S(X)))$, удовлетворяющих условиям \cite{BK}. \end{defn} Например, если $X$ -- гладкое многообразия над $k$, снабженное проективным морфизмом $\pi:X\to \Spec(R)$, то $D^b(\Coh(X))$ с $\uuHom(\F,\G) =R\pi_* \uHom(\F,\G)$ -- сильная $R$-категория. Функтор $\F\mapsto \F\otimes K_X[\dim X]$ имеет естественную структуру функтора Серра по отношению к $R$; это следует из того, что двойственность Гротендика-Серра коммутирует с прямыми образами при собственных морфизмах, и $$ \bbS (\uHom(\F,\G))\cong \uHom (\G, \F\otimes K_X[\dim X]). $$ Следующее обобщение этого факта доказывается непосредственно. \begin{lemma}\label{AzuSerre} Пусть $X$ -- гладкое многообразие над $k$, снабженное, как выше, проективным морфизмом $\pi:X\to \Spec(R)$; и пусть $\CA$ -- алгебра Адзумая на $X$. Тогда $D^b(\Coh(X,\A))$ имеет естественную структуру сильной $R$-категории, а функтор $\F\mapsto \F\otimes K_X[\dim X]$ -- естественную структуру функтора Серра по отношению к $R$.\endproof \end{lemma} Сильную $\calo$-категорию будем называть {\it категорией Калаби-Яу} если она допускает функтор Серра по отношению к $\calo$, изоморфный функтору сдвига $X\mapsto X[n]$ для какого-нибудь $n\in \Zet$. Применения этих понятий к нашей задаче основаны на следующем результате. \begin{lemma}\label{abstract} Пусть $F:C\to D$ -- триангулированный функтор между ненулевыми триангулированными категориями. Предположим, что \begin{enumerate} \item $F$ допускает сопряженный слева $F'$, причем морфизм сопряженности $id\to F\circ F'$ -- изоморфизм. \item $C$ неразложима, т.е. не может быть записана как $C=C_1\oplus C_2$ с ненулевыми триангулированными категориями $C_1,C_2$. \item $C$ допускает структуру сильной $\calo$-категории для какой-либо коммутативной алгебры $\calo$ конечного типа над полем, причем $C$ по отношению к $\calo$ есть категория Калаби-Яу. \end{enumerate} Тогда функтор $F$ -- эквивалентность. \end{lemma} \proof{} Из условия \thetag{i} следует, что $F'$ -- полное вложение, и его (существенный) образ (который мы обозначаем через $I$) -- допустимая справа подкатегория в $C$. Напомним, что это значит, что каждый объект $\F$ of $C$ есть часть точного треугольника $\F_1\to \F\to \F_2\to \F_1[1]$, где $\F_1\in I$, а $\F_2\in I^\perp$; здесь $$ I^\perp=\left\{\G\in C\ \mid\ Hom(\F,\G)=0\quad \forall \F\in I\right\} $$ -- правый ортогонал к $C$ (чтобы получить такой треугольник для данного $\F$, полагаем $\F_1=F'F(\F)$, и берем в качестве стрелки $\F_1\to \F$ морфизм сопряжения, а потом дополняем ее до точного треугольника). В такой ситуации говорят, что $C$ допускает полуортогональное разложение. Из определения следует, что если $S$ -- функтор Серра для $C$ (по отношению к какой-нибудь коммутативной алгебре $\calo$ такой, что $C$ допускает сильную $\calo$-линейную структуру), то $S^{-1}$ переводит правый ортогонал к полной подкатегории в левый ортогонал к той же подкатегории. В частности, если $C$ -- категория Калаби-Яу по отношению к какой-нибудь алгебре $\calo$, то левый ортогонал к любой триангулированной подкатегории совпадает с правым ортогоналом. Поэтому вышеописанное полуортогональное разложение на самом деле ортогонально: $C=I\oplus I^\perp$; поскольку $D\ne 0$, из условия \thetag{ii} следует, что $I^\perp=0$, а поэтому $I=C$, и $F$, $F'$ -- эквивалентности категорий. \endproof \begin{remark}\label{rem_pro_BKR} Похожее (и более общее) утверждение сформулировано и доказано в \cite{BKR}. \end{remark} Вот еще один простой вспомогательный факт. \begin{lemma}\label{indecompo} Пусть $X$ -- связное квазипроективное многообразие над полем, и пусть $\CA$ -- алгебра Адзумая на $X$. Тогда категория $\Db(\Coh(X,\CA))$ неразложима. \end{lemma} \proof{} Пусть $\Db(\Coh(X,\A))=D_1\oplus D_2$ -- разложение, инвариантное относительно функтора сдвига. Пусть $P$ -- неразложимое слагаемое свободного $\CA$-модуля. Пусть $L$ -- такое обильное линейное расслоение на $X$, что $H^0(L\otimes \uHom_\calo (P,P))\ne 0$. Для каждого $n\in \Zet$ $\CA$-модуль $P\otimes L^{\otimes n}$ неразложим, а потому лежит или в $D_1$, или в $D_2$. Более того, все эти модули лежат в одном и том же слагаемом, поскольку $Hom(P\otimes L^{\otimes n}, P\otimes L^{\otimes m})\ne 0$ при $n\leq m$. Если $\F$ -- объект другого слагаемого, то $Ext^\hdot (P\otimes L^{\otimes n}, \F)=0$ для $n$, из чего следует, что $\F=0$. \endproof \subsection{Доказательство Предложения~\ref{CYProp}.}\label{pf.CY} Мы утверждаем, что функтор $$ F:\F \mapsto \RHom^\hdot(\E,\F) $$ удовлетворяет условиям~\ref{abstract}. В самом деле, левый сопряженный функтор задается $F':M\mapsto M\Lotimes_{\End(\E)^{op}} \F$; он переводит ограниченные комплексы в ограниченные, поскольку у $\End(\E)$ конечная гомологическая размерность. Из обращения в ноль $Ext^i(\E,\E)$ следует, что $\id\cong F'\circ F$. Итак, имеем \thetag{i}. Условие \thetag{ii} вытекает из Леммы~\ref{indecompo}, \thetag{iii} -- из Леммы~\ref{AzuSerre}. \endproof \subsection{Жесткость.}\label{rg} Пусть $R$ -- регулярное нетерово кольцо с максимальным идеалом $\m \subset R$ и полем вычетов $k = R/\m$. Пусть дано алгебраическое многообразие $X_R$, плоское и гладкое над $R$, и пусть $X = X_R \otimes_R k$ -- слой $X$ над $\Spec k \in Spec R$. \begin{lemma}\label{rig} Всякое почти исключительное расслоение $\E$ на $X$ единственным образом продолжается до почти исключительного расслоения $\wh{\E}$ на $\X$, формальном пополнении $X_R$ в $X \subset X_R$. \end{lemma} \proof{} Рассмотрим фильтрацию на $R$, заданную степенями $\m$, и будем строить продолжение шаг-за-шагом, продолжая для всех $l$ по очереди на $X_R \otimes_R (R/\m^l)$. По стандартной теории деформаций, на каждом шагу препятствия к продолжению $\E$ лежат в $\Ext^2(\E,\E)$, а различные продолжения параметризуются торсором над $\Ext^1(\E,\E)$. Поскольку $\E$ почти исключительно, обе группы равны нулю. Осталось доказать, что продолженное расслоение $\wh{\E}$ почти исключительно. В самом деле, поскольку $\Ext^i(\E,\E) = 0$ для всех $i \geq 1$, имеем $\Ext^i(\wh{\E},\wh{\E}) = 0$ для $i \geq 1$, $\End(\wh{\E})$ плоско над $R$, а естественное отображение $\End(\wh{\E})/\m \to \End(\E)$ -- изоморфизм. Чтобы доказать, что алгебра $\End(\wh{\E})$ имеет конечную гомологическую размерность, вычисляем группы $\Ext^\hdot$ с помощью спектральной последовательности, связанной с $\m$-адической фильтрацией. \endproof Наши многообразия, как правило, будут некомпактны, поэтом переход от $\X$ к $X_R$ требует обоснований. Чтобы получить глобальную информацию, мы используем действия $\Gm$. Предположим, что $X_R = \Proj\B^\hdot$ проективно над аффинным многообразием $\Spec \B^0$ над $R$. \begin{defn} Будем говорить, что группа $\Gm$ действует на $X_R$ {\em с положительным весом}, если все веса соответствующего действия $\Gm$ на $\B^\hdot$ неотрицательны. \end{defn} \begin{lemma}\label{glob} В предположениях Леммы~\ref{rig}, предположим также, что $R$ полно по отношению к $\m$-адической фильтрации, $X_R$ снабжено действием $\Gm$ с положительным весом, и $\E$ $\Gm$-эквивариантно. Тогда $\E$ единственным образом продолжается до $\Gm$-эквивариантного расслоения $\E_R$ на $X_R$. \end{lemma} \proof[Набросок доказательства.] Любое расширение мультипликативной группы с помощью унипотентной группы расщепляется; следовательно, продолжение $\E$ на $\X$, доставляемое Леммой~\ref{rig}, допускает $\Gm$-эквивариантную структуру. При условии положительного веса, функтор пополнения -- эквивалентность категорий $\Gm$-эквивариантных когерентных пучков на $X_R$ и на $\X$. Чтобы построить обратную эквивалентность, интерпретируем по Теореме Серра когерентные пучки как градуированные $\B^\hdot$-модули, и заменяем модуль на подмодуль $\Gm$-конечных векторов. \endproof На самом деле, необязательно требовать от $\E$ $\Gm$-эквивариантности -- всякое почти исключительное векторное расслоение автоматические эквивариантно по отношению к любому действию $\Gm$ с положительными весами. Мы опускаем доказательство, поскольку оно довольно технично; в наших приложениях, $\Gm$-эквивариантная структура получается прямым геометрическим аргументом (см. Предложение~\ref{lifts}). \section{Квантования.} В этим разделе мы приводим некоторые общие факты о квантовании алгебраических многообразий положительной характеристики. Мы не пытаемся достичь сколько-нибудь заметной общности, и доказываем только то, что нужно для доказательства Теоремы~\ref{main}. До конца этого раздела предполагается, что все объекты определены над фиксированным полем $\kk$. \subsection{Стандартные определения.} Квантование (формальное) пуассоновой $\kk$-алгебры $\langle\calo,\{-,-\}\rangle$ определяется обычным образом; итак, квантование есть ассоциативная плоская $\kk[[h]]$-алгебра $\calo_h$, полная и отделимая в топологии, порожденной степенями $h^i\calo_h$, и снабженная таким изоморфизмом $\calo_h/h\calo_h\cong \calo$, что коммутатор в $\calo_h$ равен $h\{-,-\}\mod h^2\calo_h$. Если $X$ -- пуассонова схема, то квантование $X$ -- пучок $\kk[h]$-алгебр $\calo_h$ на $X$, снабженный изоморфизмом $\calo_h/h\calo_h\cong \calo_X$ и такой, что алгебра сечений $\calo_h(U)$ на любом аффинном открытом подмножестве $U$ -- квантование $\calo(U)$. Проверяется, что квантование алгебры задает квантование ее локализации (см. например \cite[\S 2.1]{Kapranov}), так что квантование пуассоновой алгебры $A$ определяет квантование пуассоновой схемы $X=\Spec A$. Ниже мы с основном будем работать с примерами, в которых $X$ -- симплектическое многообразие. \begin{example}\label{Diff op} Для гладкого аффинного многообразия $M$ над $\kk$, алгебра $D_h(M)$ {\it асимптотических дифференциальных операторов} на $M$ -- это $h$-пополнение алгебры, порожденной $\calo_M$ и $Vect(M)$ по модулю обычных соотношений $f_1\cdot f_2=f_1f_2$, $f\cdot \xi=f\xi$, $\xi\cdot f-f\cdot\xi=h \xi(f)$, $\xi_1\xi_2-\xi_2\xi_1=h[\xi_1,\xi_2]$. Как обычно, легко проверяется, что $D_h(M)$ -- квантование симплектического многообразия $T^*M$. Склеивая квантования, полученные этой конструкцией, получаем для любого гладкого многообразия $M$ над $\kk$ пучок $D_h(M)$, который представляет собой квантование $T^*M$. Заметим, что когда $\cchar \kk$ положительно, эта конструкция связана с так называемыми ``кристальными'' дифференциальными операторами Мирковича и Румынина (PD дифференциальные операторы с терминологии \cite{Ogus}), а не с более широко известными дифференциальными операторами Гротендика (вторые содержат разделенные степени векторного поля, первые -- нет). \end{example} Нам также понадобится градуированная версия квантований. Предположим, что пуассонова схема $X$ снабжена действием $\Gm$, причем скобка пуассона имеет вес $-2$ (другими словами, $\deg \{f,g\} = \deg f + \deg g - 2$ для любых двух однородных локальных функций $f$, $g$ на $X$). Будем говорить, что квантование $\calo_h$ схемы $X$ {\em градуировано}, если оно снабжено таким действием $\Gm$, что $h$ имеет вес $2$, а изоморфизм $\calo_h/h \cong \calo_X$ $\Gm$-эквивариантен. Например, стандартное квантование $\W$ симплектического векторного пространства градуировано (см. Пример~\ref{Weyl algebra}). \subsection{Квантования как деформации.} Квантования по самому их определению можно изучать с помощью теории деформаций. В последнее время принято сводить все вопросы теории деформаций к решению уравнения Маурера-Картана в той или иной дифференциально-градуированной алгебре Ли. В характеристике $0$, возможно, этот метод можно применить к квантованиям, и даже получить какие-то полезные результаты, но для нас это неважно: мы в основном изучаем ситуацию в положительной характеристике, где формализм дифференциально-градуированных алгебр Ли теряет смысл. Поэтому нам придется работать с деформациями шаг за шагом, традиционным стандартным способом. Таким образом многого получить не удается, но один нужный нам результат о продолжении доказать можно. Пусть $X$ -- гладкое многообразия. Напомним, что по стандартной теории деформаций, деформации структурного пучка $\calo_X$ в классес пучков ассоциативных алгебр контролируются группами когомологий Хохшильда $HH^i(X)$, $i=1,2,3$ --- иными словами, группами $$ \Ext^i_{X \times X}(\calo_\Delta,\calo_\Delta), \qquad i =2,3, $$ где $\Delta \subset X \times X$ обозначает диагональ. Классы эквивалентности деформаций лежат в группе $HH^2(X)$, а препятствия лежат в группе $HH^3(X)$. \begin{lemma}\label{def} \begin{enumerate} \item Пусть $U \subset X$ -- открытое подмножество, и предположим, что отображение ограничения $$ HH^i(X) \to HH^i(U) $$ биективно для $i=1,2$ и инъективно для $i=3$. Тогда любое квантование $U$ единственным образом продолжается до квантования $X$. \item Предположим, что $X$ снабжено действием $\Gm$, которое сохраняет $U \subset X$, причем скобка Пуассона $\{-,-\}$ в $\calo_X$ имеет вес $-2$, и обозначим через $HH^\hdot_-(X) \subset HH^\hdot(X)$, $HH^\hdot_-(U) \subset HH^\hdot(U)$ подпространства векторов отрицательного веса по отношению к $\Gm$. Предположим, что отображение ограничения $HH^i_-(X) \to HH^i_-(U)$ биективно для $i=1,2$ и инъективно для $i=3$. Тогда всякое градуированное квантование $U$ единственным образом продолжается до градуированного квантования $X$. \end{enumerate} \end{lemma} \proof[Набросок доказательства.] Под деформацией $\calo_n$ порядка $n$ структурного пучка $\calo_X$ будем понимать пучок плоских $\kk[h]/h^{n+1}$-алгебр на $X$, снабженный изоморфизмом алгебр $\calo_n/h \cong \calo_X$. Зафиксируем деформацию $\calo_{n-1}$ порядка $n-1$. Тогда все деформации $\calo_n$ пучка $\calo_X$ порядка $n$, снабженные изоморфизмом $\calo_n/h^n \cong \calo_{n-1}$, образуюты джерб, связанный $HH^{\leq 3}(X)$ (это значит, что для какого-то фиксированного комплекса $C^\hdot$ с группами когомологий $HH^i(X)$, $i=1,2,3$, и для какого-то фиксированного элемента $c \in C^3$, все эти деформации параметризуются элементами $b \in C^2$ с $d(b)=c$, причем изоморфные деформации отвечают гомологичным элементам $b_1$, $b_2$). Аналогично, все такие деформации $\calo_U$ образуют джерб, связанный $HH^{\leq 3}(U)$. Чтобы доказать \thetag{i}, замечаем, что условия Леммы гарантируют, что ограничение задает эквивалентность соответствующих джербов, и применяем индукцию по $n$. Чтобы доказать \thetag{ii}, замечаем, что в $\Gm$-эквивариантной ситуации, поскольку $\deg h =2$, соответствующие джербы связаны $HH^{\leq 3}(X)_{-2n} \subset HH^{\leq 3}(X)$, т.е. подпространством векторов веса $-2n$. В силу условий Леммы, эти джербы эквивалентны на каждом шагу $n$. \endproof \subsection{Фробениусов центр.} С настоящего момента, и до конца этого раздела, мы предполагаем, что $\kk$ -- совершенно поле характеристики $p>0$. Предполагаем также, что пуассонова схема $X$ приведена. Новая черта теории в положительной характеристике -- наличие в квантованной алгебре $\calo_h$ большого центра. В ситуации Примера~\ref{Diff op} это явление тесно связано с понятием {\it $p$-кривизны} плоской связности. Начем с элементарного наблюдения: для любой пуассоновой $\kk$-алгебры $\calo$ и любого $f\in \calo$, элемент $f^p\in \calo$ лежит в центре алгебры Ли $\calo$; поэтому скобка Пуассона $\calo^p$-линейна, и превращает $\Fr_*(\calo)$ в когерентный пучок алгебр Ли на схеме $X^\tw=(X,\calo_X^p)$. \begin{defn} Квантование $\calo_h$ пуассоновой схемы $X$ называется {\it фробениус-постоянным}, если вложение $\calo_X^p\imbed \calo$ поднимается до отображения пучков алгебр из $\calo_X^p$ в центр $\calo_h$ \end{defn} Фробениус-постоянные квантования ближе к геометрии, чем произвольные. А именно, пусть $\calo_h$ -- фробениус-постоянное квантование пуассоновой схемы $X$. Тогда $\calo_h$ по определению есть пучок $\calo^p$-алгебр, и тем самым задает квазокогерентный пучок на формальной схеме $\widehat{X}^\tw$ -- пополнении $X^\tw\times \Spec\kk[h]$ в центральном слое $X^\tw\times \{0\}$. Легко видеть, что этот пучок локально свободен и имеет ранг $p^{\dim(X)}$. Его ограничение на специальный слой $\X$ отождествлено с $Fr_*(\calo)$. Как и в Лемме~\ref{glob}, в градуированной ситуации можно сказать больше. \begin{lemma}\label{gra} Пусть $X = \Proj \B^\hdot$ -- проективное многообразие над $\Spec \B^0$, гладкое над $\kk$ и снабженное действием $\Gm$ и пуассоновой скобкой веса $-2$. Предположим, что действие $\Gm$ на $X$ имеет положительные веса. Тогда любое градуированное фробениус-постоянное квантование $\calo_h$ многообразия $X$ есть пополнение единственного $\Gm$-эквивариантного пучка алгебра на произведении $X^\tw \times \Spec\kk[h]$. \end{lemma} \proof{} Как и в Лемме~\ref{glob}, в силу условия положительности весов пополнение дает эквивалентность тензорных категорий $\Gm$-эквивариантных когерентных пучков на $X^\tw \times \Spec \kk[h]$ и на $\widehat{X}^\tw$. \endproof Фробениус-постоянные квантования -- объекты локальные, как в топологии Зарисского, так и в этальной. Для аффинного $X$ функтор глобальных сечений дает эквивалентность между фробениус-постоянными квантованиями $X$ и $\calo_X$. Введение этого понятия обусловлено следующим результатом. \begin{prop}\label{Dhm} Если $M$ -- гладкое $\kk$-многообразие, то $D_h(M)$ -- фробениус-постоянное квантование $T^*M$. \end{prop} \proof[Набросок доказательства.] Определим отображение из образующих $\calo(T^*M)^p$ в $D_h(M)$. Функция $f^p\in \calo_M^p$, поднятая с $M$, переходит в $f^p\in D_h(M)$. Послойно-линейная функция на $T^*M$ есть вектороное поле на $M$; для такой функции $\xi\in Vect(M)$ полагаем $\xi^p\mapsto \xi^p-h^{p-1}\xi^{[p]}$, где $\xi^{[p]}$ -- ограниченная степень векторного поля $\xi$. Оставшаяся часть доказательства -- прямое вычисление в локальных координатах (см. \cite[\S 1.2]{MR}). \endproof \begin{example}\label{Weyl algebra} $h$-адическое пополнение $\W$ алгебры Вейля $\bW$ (см. Подраздел~\ref{nota}) -- фробениус-постоянное квантование симплектического пространства $V$. (Это можно считать частным случаем Предложения~\ref{Dhm}, где за $M$ взято лагранжево подпространство в $V$). Это квантование градуировано. Точнее, $\bW$ имеет градуировку, в которой линейным функциям приписан вес $1$, а $\deg(h)=2$; получаем действие мультипликативной группы на $\W$, и $\bW$ отождествляется с подпространством $\Gm$-конечных векторов в $\bW$. \end{example} \begin{example}\label{Lie alg} Пусть $\g$ -- алгебра Ли над $\kk$. Тогда {\it асимптотическая обертывающая алгебра} $U_h(\g)$ опеделяется как $h$-пополнение градуированной алгебры $\kk[h]\langle \g\rangle/(xy-yx=h[x,y])$. Если $\g$ -- ограниченная алгебра Ли, то $U_h(\g)$ -- фробениус-постоянное квантование пуассонова многообразия $\g^*$; фробениусов центр порожден $x^p-h^{p-1}x^{[p]}$, $x\in \g$. (Отметим, что эти элементы центра однородны по отношению к естественной градуировке, в которой $deg(h)=1$). \end{example} Следующий результат представляет собой обощение фундаментального наблюдения Мирковича и Румынина. \begin{prop}\label{azu} Пусть $\calo_h$ -- фробениус-постоянное квантование симплектического многообразия $X$. Тогда ограничение $\calo_h[h^{-1}]$ пучка $\calo_h$ на общий слой формальной схемы $\widehat X$ -- алгебра Адзумая ранга $p^{\dim X}$. \end{prop} \proof{} Фробениус-окрестность $Frob(x) \subset X$ замкнутой точки $x \in X$ определяется как спектр слоя $\calo_X^p$-алгебры $\Fr_*\calo_X$ в точке $x$, и представляет собой пуассонову схему. Достаточно доказать, что для любой замкнутой точки $x \in X$ и любого квантования $A$ пуассоновой алгебры функций на $\FrN(x)$, локализация $A(h^{-1})$ -- алгебра Адзумая над $\kk((h))$. Пусть $Z$ -- центр $A(h^{-1})$. Тогда $$ \dim_{\kk((h))} Z =\dim_\kk (Z\cap A) \mod h A. $$ Правая часть содержится в пуассоновом центре $\calo_{\FrN(x)}$, который, как легко видеть, имеет размерность $1$. Поэтому $Z=\kk((h))$. Предположим теперь, что $I\subset A(h^{-1})$ -- ненулевой двусторонний идеал. Тогда $(I\cap A) \mod h$ -- пуассонов идеал $\calo_{\FrN(x)}$. Поскольку гамильтоновы векторные поля порождают касательное пространство к $X$ в $x$ (что очевидно из вычисления в локальных координатах), пуассонов идеал инвариантен по отношению ко всем дифференцированиям; с другой стороны, легко проверить, что в алгебре $\calo_{\FrN(x)}$ нет собственных ненулевых идеалов, инвариантных относительно любых дифференцирований. Поэтому $(I\cap A) \mod h=A\mod h$, и $I=A$ по лемме Накаяма. \endproof \section{Общие факты о симплектических разрешениях.}\label{gen} Возвратимся к ситуации, описанной в предисловии: $V$ -- конечномерное симплектическое векторное пространство, $\Grp \subset Sp(V)$ -- конечная подгруппа, $\pi:X \to Y=V/\Grp$ -- гладкое проективное разрешение, симплектическая форма $\omega$ на $X_0 = V_0/\Grp$ продолжается до невырожденной симплектической формы на $X$. Полагаем $\calo^\Grp=\calo(V)^\Grp=H^0(X,\calo)$. Мультипликативная группа $\Gm$ действует на векторном пространстве $V$ гомотетиями. Это действие спускается до действия на $V/\Grp$, а затем поднимается по действия на $X \to V/\Grp$ (см. \cite{Ka}; принятое там предположение $\cchar\kk=0$ несущественно). Все эти действия -- действия с положительными весами. Также известно \cite{Ka}, что отображение $X \to Y$ всегда полумалое -- иными словами, $\dim X \times_Y X = \dim X$ (опять же, доказательство \cite{Ka} предполагает характеристику $0$, но работает без изменений в любой характеристике). Кроме того, предположим, что $X$ удовлетворяет следующему условию: \begin{itemize} \item $H^p(X,\Omega^q)=0$ при $p+q > \dim X$. \end{itemize} Это выполнено в характеристике $0$, см. \cite{K3}. Скорее всего, это верно и в положительной характеристике, но при каких-то дополнительных предположениях. К сожалению, мы не смогли выделить такие предположения, а потому просто принимаем \thetag{$\bullet$} как постоянное условие на разрешение $X$. \begin{example} Если $\dim V=2$, то всякий фактор $V/\Grp$ с $\Grp \subset Sp(V) = SL(V)$ имеет единственное разрешение $X \to V/\Grp$, и оно удовлетворяет всем нашим предположениям. Это ситуация очень хорошо изучена; некоторые подробности мы приведем ниже, в Подразделе~\ref{dim2}. \end{example} Напомним, что мы ввели плотные открытые подмножества $V_0 \subset V_1 \subset \dots \subset V$, и обозначили $X_i = \pi^{-1}(V_i/\Grp)$. Нам потребуется одно конкретное этальное покрытие открытого подмножества $X_1 \subset X$. Рассмотрим связные компоненты $H_\alpha \subset (V_1/\Grp)$ дополнения $(V_1/\Grp) \setminus (V_0/\Grp)$. Всякое такое $H_\alpha$ -- замкнутая подсхема в $V_1/\Grp$ чистой коразмерности $2$. Существует такое векторное подпространство $V_\alpha \subset V$ коразмерности $2$, что $H_\alpha=\eta(V_\alpha\cap V_1)$, а подруппа $\Grp_\alpha \subset \Grp$ элементов $\Grp$, оставляющих на месте каждый вектор $V_\alpha$, нетривиальна. Обозначим через $\Grp'_\alpha \subset \Grp$ стабилизатор подпространства $V_\alpha$; тогда $\Grp_\alpha$ -- нормальная подгруппа в $\Grp'_\alpha$. Рассмотрим $V$ как $\Grp_\alpha$-модуль. Он расщепляется в ортогональную сумму $V=W\oplus V_\alpha$, где $\dim W = 2$ (так что $\Grp_\alpha \subset SL(W)$). Факторгруппа $N_\alpha = \Grp_\alpha'/\Grp_\alpha$ действует на $W/\Grp_\alpha$ и на $V_\alpha$; второе действие -- симплектическое действие на симплектическом векторном пространстве. Придерживаясь наших общих обозначений, через $V_{\alpha,0} \subset V_\alpha$ обозначим открытое подмножество векторов с тривиальным стабилизатором в $N_\alpha$. Проекция $\eta:V \to V/\Grp$ индуцирует естественное отображение $$ \eta_\alpha:(W/\Grp_\alpha) \times V_{\alpha,0} \to \left(\left(W/\Grp_\alpha\right) \times V_{\alpha,0}\right)/N_\alpha \to V/\Grp. $$ Отображение $\eta_\alpha$ этально вне некоторого замкнутого подможества $F_1 \subset (W/\Grp_\alpha) \times V_{\alpha,0}$, которое не пересекается с $\{0\} \times V_{\alpha,0}$. Прообраз $\eta_\alpha^{-1}(H_\alpha)$ -- несвязное объединение $(\{0\} \times V_{\alpha,0}) /N_\alpha$ и некоторого замкнутого подмножества $F_2 \subset (W/\Grp_\alpha) \times V_{\alpha,0}$. Обозначим через $U_\alpha \subset (W/\Grp_\alpha) \times V_{\alpha,0}$ дополнение к замкнутому подмножеству $F_1 \cup F_2$. Тогда $U_\alpha$ -- окрестность в топологии Зарисского подмножества $\{0\} \times V_{\alpha,0} \subset (W/\Grp_\alpha) \times V_{\alpha,0}$; отображение $\eta_\alpha:U_\alpha \to V/\Grp$ этально, и $\eta_\alpha^{-1}(H_\alpha) = \{0\} \times V_{\alpha,0} \subset U_\alpha$. Кроме того, $\eta_\alpha$ индуцирует изоморфизм $\eta_\alpha:(\{0\} \times V_{\alpha,0})/N_\alpha \cong H_\alpha$. Отображение $\eta_\alpha:(W/\Grp_\alpha) \times V_{\alpha,0} \to V/\Grp$ продолжается до отображения $$ \rho_\alpha:\left(Y_\alpha \times V_{\alpha,0}\right)/N_\alpha \to X, $$ где $\pi_\alpha:Y_\alpha \to W/\Grp_\alpha$ -- каноническое крепантное разрешение $W/\Grp_\alpha$ (см. например \cite[Section 4]{Ka}; поскольку разрешение $Y_\alpha \to W/G_\alpha$ канонично, действие $N_\alpha$ на $W/\Grp_\alpha$ единственным образом продолжается до действия на $Y_\alpha$). Обозначим через $X_\alpha \subset Y_\alpha \times V_{\alpha,0}$ прообраз $(\pi_\alpha \times \id)^{-1}(U_\alpha)$ открытого подмножества $U_\alpha \subset (W/\Grp_\alpha) \times V_{\alpha,0}$. Отображение $\rho_\alpha$ этально на $X_\alpha$; имеем \begin{equation}\label{un} \rho_\alpha^{-1}\pi^{-1}(H_\alpha) = \pi_\alpha^{-1}(\{0\}) \times V_{\alpha,0}, \end{equation} и отображение $\rho_\alpha$ индуцирует изоморфизм $$ \rho_\alpha:\left(\pi_\alpha^{-1}(\{0\}) \times V_{\alpha,0}\right)/N_\alpha \to \pi^{-1}(H_\alpha) \subset X. $$ Множества $X_\alpha$ вместе с $X_0 \subset X_1$ образуют этальное покрытие подмножества $X_1 \subset X$. Ситуация формально описывается следующей леммой о склейке. \begin{lemma}\label{glue} Категория когерентных пучков $\E$ на $X_1$ эквивалентна категории следующих данных: \begin{enumerate} \item когерентный пучок $\E_0$ на $X_0$, \item для каждой компоненты $H_\alpha$ дополнения $V_1/\Grp \setminus V_0/\Grp$, продолжение $\E_\alpha$ пучка $\rho_\alpha^*\E_0$ до $N_\alpha$-эквивариантного пучка на $X_\alpha$. \end{enumerate} \end{lemma} \proof{} Поскольку $X_0$ и все $X_\alpha$ вместе взятые образуют этальное покрытие $X_1$, достаточно продолжить $\E_0$ до пучка на $\rho_\alpha(X_\alpha)$ для каждого $X_\alpha$. Для этого достаточно построить данные спуска для этального отображения $\rho_\alpha:X_\alpha \to X$. Пусть $X_{\alpha,0} \subset X_\alpha$ -- прообраз $\rho_\alpha^{-1}(X_0)$. В силу \eqref{un} произведение $X_\alpha \times_X X_\alpha$ покрывается двумя открытыми подмножествами: $X_{\alpha,0} \times_X X_{\alpha,0}$ и $X_\alpha \times N_\alpha$. Поскольку $\E_\alpha = \rho^{-1}\E_0$ на $X_{\alpha,0} \subset X_\alpha$, данные спуска на первом подмножестве уже даны. Данные спуска на втором подмножестве эквивалентны $N_\alpha$-эквивариантной структуре на $\E_\alpha$. \endproof \begin{prop}\label{lifts} \begin{enumerate} \item Предположим, что Теорема~\ref{evb} верна для какого-то векторного расслоения $\E$. Тогда $\E$ имеет каконическую $\Gm$-эквивариантную структуру. \item Пусть $R$ -- регулярное полное локальное кольцо с полем вычетов $\kk$, максимальным идеалом $\m \subset R$, и полем частных $\K$. Пусть дано проективное крепантное разрешение $\pi:X_R \to V_R/\Grp$, где $X_R$ -- гладкая схема над $R$. Предположим, что Теорема~\ref{evb} верна для специального слоя $X_\kk$ схемы $X_R$, и что для каждой из этальных карт $X_\alpha \subset Y_\alpha \times V_{\alpha,0}$, обратный образ $\rho^*\E$ продолжается до векторного расслоения на $Y_\alpha \times V_\alpha$. Тогда Теорема~\ref{evb} верна для общего слоя $X_\K$. \end{enumerate} \end{prop} \proof{} Чтобы доказать \thetag{i}, заметим, что, поскольку $\calo_V \subset \calo_V\#\Grp$, всякий объект $\E$, удовлетворяющий условиям Теоремы~\ref{evb}, имеет структуру $\calo_V$-модуля. В частности, на $X_0 \cong V_0/\Grp \subset X$ мы имеем $$ \E \cong \eta_*\wt{\E} $$ для некоторого пучка $\wt{\E}$ на $V_0$. Поскольку $\rk \E = |\Grp|$ равен степени этального отображения $\eta:V_0 \to V_0/\Grp$, пучок $\wt{\E}$ есть линейное расслоение. Поскольку дополнение $V_0 \subset V$ имеет коразмерность $\geq 2$, группа Пикара $\Pic(V_0)=\Pic(V)$ тривиальна; следовательно, $\wt{E}=\calo_V$, и $\E \cong \eta_*\calo_V$ на $X_0 \subset X$. В частности, на открытой части $X_0 \subset X$ на нем есть $\Gm$-эквивариантная структура. Пусть $a:\Gm\times X\to X$ -- отображение действия, и пусть $p:\Gm\times X\to X$ -- проекция. Тогда эквивариантная структура на $\E$ задается изоморфизмом $a^*\E \cong p^*\E$; нам дан такой изоморфизм на $\Gm \times X_0$, и надо доказать, что он продолжается на $\Gm \times X$. Мы докажем, что {\em любой} изоморфизм $a^*(\E) \cong p^*(\E)$, определенный на $\Gm \times X_0$, продолжается на $\Gm \times X$. В самом деле, пусть $\X$ -- формальная окрестность $\{1\} \times X \subset \Gm \times X$, и пусть $\X_0$ -- формальная окрестность $\{1\} \times X_0 \subset \Gm \times X_0$; тогда достаточно доказать, что любой изоморфизм $a^*\E \cong p^*\E$ на $\X_0$ продолжается на $\X$. Поскольку $\Ext^1(\E,\E)=0$, пучок $\E$ единственным образом продолжается на (тривиальную) однопараметрическую деформацию $\X$ многообразия $X$. Поэтому существует хотя бы какой-то изоморфизм $a^*\E \cong p^*\E$. Но поскольку $\End(\E) = \calo_V\#\Grp$ совпадает с $\End(\E_{X_0})$, из теоремы о формальных функциях следует, что любое сечение $\uHom (\E,\E)$ на $\X_0$ продолжается на $\X$; следовательно, любой данный изоморфизм $a^*\E \cong p^*\E$ на $\X_0$ в самом деле продолжается на $\X$. Чтобы доказать \thetag{ii}, предположим, что Теорема~\ref{evb} верна для $X_\kk$. В силу \thetag{i} соответствующее векторное расслоения $\E$ на $X_\kk$ $\Gm$-эквивариантно. Поэтому по Лемме~\ref{glob} оно продолжается до почти исключительного векторного расслоения $\E_R$ на $X_R$. Мы знаем, что алгебра $\End_R(\E_R)$ -- плоская деформация алгебры $\End(\E)$. Осталось доказать, что на самом деле она совпадает с $Sym(V_R)\#\Grp$. Применяя Лемму~\ref{glob} к $\Gm$-эквивариантным пучкам на $V_R$, видим, что достаточно доказать, что $$ \End(\E_\X) \cong \wh{Sym(V_R)\#\Grp}, $$ где $\X$ -- формальное пополнение $X_R$ вдоль $X_\kk \subset X_R$, а пополнение в правой части берется в $\m$-адической топологии. Предположим сперва, что $V = W \oplus V'$ и $\dim W = 2$, и что группа $\Grp$ действует тривиально на $V'$, так что, в частности, $X = X_1$. Тогда $\E \cong \eta_*\calo_V$ на $X_0 = V_0/\Grp \subset X_\kk$, и все $\Gm$-однородные элементы в группе $$ \Ext^1(\E|_{X_0},\E|_{X_0}) $$ имеют строго отрицательный вес по отношению к $\Gm$-действию. Поэтому по стандартной теории деформаций пучок $\E$ на $X_0$ продолжается до $\Gm$-эквивариантного пучка на $\X_0$ {\em единственным образом}. В силу этого $$ \E_{\X_0} \cong \wh{\eta_*\calo_{V}} $$ на $\X_0 \subset \X$. Теперь замечаем, что ограничение на $\X_0 \subset X$ индуцирует отображение $$ \End(\E_\X) \to \End(\E_{\X_0}) \cong \wh{Sym(V_R)\#\Grp} $$ нетеровых топологических $R$-алгебр, полных по отношению к $\m$-адической топологии, и это отображение -- изоморфизм по модулю $\m$. Следовательно, оно изоморфизм. В общем случае этот аргумент не работает, поскольку группа $\Ext^1(\E_{X_0},\E_{X_0})$ становится слишком велика. Рассмотрим, однако, ограничение $\E_{X_1}$ расслоения $\E$ на $X_1 \subset X_\kk$. Мы утверждаем, что $$ \Ext^i(\E_{X_1},\E_{X_1}) = 0 $$ при $i=1,2$. В самом деле, рассмотрим векторное расслоение $\eend(\E)$ на $X_1$. Из Теоремы~\ref{evb}~\thetag{ii} следует, что $R^k\pi_*\eend(\E)=0$ для $k \geq 1$, и в силу Теоремы~\ref{evb}~\thetag{i} имеем $$ \Ext^i(\E,\E) \cong H^i(X_1,\eend(\E)) \cong H^i(V_1/\Grp,\calo_V\#\Grp). $$ Алгебра $\calo_V\#\Grp$, рассмотренная как пучок на $V_1/\Grp$, есть прямой образ тривиального пучка $\calo_V \otimes \kk[\Grp]$ по отношению к отображению проекции $\eta:V_1 \to V_1/\Grp$. Следовательно, $$ H^i(V_1/\Grp,\calo_V\#\Grp) = H^i(V_1,\calo_V) \otimes \kk[\Grp]. $$ Поскольку $\codim V \setminus V_1 \geq 4$, правая часть действительно тривиальна при $i = 1,2$. Теперь заметим, что в силу того же аргумента, что в случае $V=W \oplus V'$, достаточно доказать, что $\End(\E_{\X_1})$ совпадает со скрученным произведением $\wh{Sym(V_R)\#\Grp}$. Поскольку $\Ext^1(\E_{X_1},\E_{X_1}) = 0$, векторное расслоение $\E$ на $X_1$ продолжается до векторного расслоения на $\X_1$ единственным образом. Поэтому достаточно построить {\em хотя бы одно} векторное расслоение $\E'$ на $\X_1$, продолжающее $\E_{X_1}$ и имеющее требуемую алгебру эндоморфизмов. Для этого применяем Лемму~\ref{glue}, и заключаем, что достаточно на каждом из разрешений $Y_\alpha \times V_\alpha \to V/\Grp_\alpha$, отвечающих этальным картам $X_\alpha$, построить $N_\alpha$-эквивариантное продолжение $\E'_\alpha$ пучка $\E_\alpha$. Но поскольку $\Grp_\alpha \subset \Grp$ действует на $V_\alpha$ тривиально, мы уже доказали, что продолжение существует и единственно. В частности, оно $N_\alpha$-эквивариантно. \endproof \section{Квантование симплектического разрешения}\label{quant} Предположим теперь, что основное поле $\kk$ -- совершенное поле характеристики $p > 0$; предположим также, что $p > \dim X$, $p> |\Grp|$. Цель этого раздела -- следующий результат. \begin{theorem}\label{thmqua} В вышеперечисленных предположениях, сучествует такое градуированное фробениус-постоянное квантование $\calo_h$ схемы $X$, что $(\calo^\Grp)^p$-алгебра $H^0(X,\calo_h)$ глобальных сечений $\calo_h$ изоморфна стандартному квантованию $\W^\Grp$, причем изоморфизм $\Gm$-эквивариантен. \end{theorem} \begin{lemma}\label{H^0} Пусть градуированное форбениус-постоянное квантование $\calo_h$ схемы $X$ таково, что его ограничего на открытый страт $X_0\cong V_0/\Grp$ изоморфно $\Gm$-эквивариантным образом пучку $\W|_{V_0^\tw}^\Grp$. Тогда $\calo_h$ удовлетворяет требованиям Теоремы~\ref{thmqua}. \end{lemma} \proof{} Поскольку дополнение $V_0$ имеет коразмерность не меньше 2, имеем $\W=H^0(\W|_{V_0^\tw})$. Поэтому $H^0(\calo_h)$ -- подалгебра в $\W^\Grp=H^0(X_0,\calo_h|_{X_0^\tw})$. Используя обращение в ноль $H^1(X,\calo)$, заключаем, что $$ H^0(\calo_h)/h H^0(\calo_h)\iso H^0(\calo) =\calo_V^\Grp=\W^\Grp/h\W^\Grp, $$ что доказывает сюръективность отображения $H^0(\calo_h)\to \W^\Grp$. \endproof Вот план доказательства Теоремы. По Лемме~\ref{H^0} достаточно взять данное квантование $X_0$ и продолжить его до квантования $X$. В подразделе~\ref{toX} мы продолжим его на $X_1$, а затем на все $X$. Поскольку $\codim (V_1-V_0)= 2$, продолжение на $X_1$ сводится к случаю $\dim (V)=2$, который рассмотрен отдельно в Подразделе~\ref{dim2}. \subsection{Случай размерности $2$.}\label{dim2} В этом подразделе предполагаем, что $\dim V = 2$. Наша цель -- следующий результат. \begin{prop}\label{dim2 Prop} Теорема~\ref{thmqua} верна, если $\dim (V)=2$. Кроме того, разрешение $X$ и квантование $\calo_h$ эквивариантны относительно нормализатора $\Grp$ в $Sp(V)$. \end{prop} \subsubsection{Разрешение как гамильтонова редукция.} Классификация наборов данных $\langle V,\omega,\Grp\rangle$ с $\dim(V)=2$ хорошо известна (еще Клейну, если не раньше). Они отвечают диаграммам Дынкина с простыми связями; в каждом случае крепантное разрешение $X$ фактора $V/\Grp$ единственно. Напомним недавнее описание $X$ как гильбертова фактора $V$ по $\Grp$, данное Ито и Накамурой \cite{IN} (см. также изложение в \cite{N1}). Рассмотрим подмногообразие $\Grp$-неподвижных точек в схеме Гильберта $\Hilb^n(V)$ подсхем в $V$ длины $n$, $n=|\Grp|$, и обозначим за $\Hilb^\Grp(V)$ ту из его связных компонент, которая содержит элементы вида $\bigoplus_{\gamma \in \Grp} \calo_{\gamma(v)}$, $v\in V\setminus \{0\}$. Тогда имеем $X\cong \Hilb^\Grp(V)$. Разрешение $X$ можно также получить гамильтоновой редукцией (алгебраического) симплектического векторного пространства по действию редуктивной группы; эта конструкция (в аналитическом контексте) была открыта Кронхаймером \cite{Kr}, и изучена в работах Люстига, Накаджимы и др. Опишем вкратце версию этой конструкции (по-видимому, принадлежащую Накаджиме), основанную на интерпретации через гильбертов фактор. Пусть $R=\kk[\Grp]$ -- регулярное представление группы $\Grp$. Пространство $X=Hilb^\Grp(V)$ -- пространство модулей таких представлений $Sym(V^*)\#\Grp$, которые изоморфны $R$ как $\Grp$-модуль и порождены $\Grp$-инвариантнымх вектором. Пусть $R$ -- тавтологическое векторное расслоение на $X$, т.е. прямой образ на $X$ структурного пучка универсальной $\Grp$-эквивариантной подсхемы в $X \times V$. Пусть $M$ -- пространство, параметризующее представления $N$ алгебры $T(V^*)\#\Grp$, снабженные изоморфизмом $\Grp$-модулей $N\cong R$; здесь через $T$ обозначена тензорная алгебра. По определению, $M$ есть векторное пространство $$ M = \Hom_\Grp(V^*,\End(R)) = \Hom_\Grp(V^* \otimes R, R) = (V \otimes \End(R))^\Grp $$ $\Grp$-эквивариантных отображений из $V^*$ в $\End(R)$. (Можно также описать $M$ как пространство представлений так называемого ``двойного колчана'', отвечающего аффинной диаграмме Дынкина типа $A$, $D$, $E$; см. например \cite{Lu}). Векторное пространство $\End(R)$ снабжено симметрическим следовым спариванием $\tr(ab)$ и скобкой Ли $[-,-]: \End(R) \otimes \End(R)\to \End(R)$; и то, и другое $\Grp$-инвариантно. Спаривание, тензорно помноженное на симплектическую форму $\omega$ на $V$, дает симплектическую форму $\Omega$ на $V \otimes \End(R)$; ограничивая ее на подпространство $M$ $\Grp$-инвариантных векторов, получаем симплектическую форму $\Omega$ на $M$. Скобка, помноженная на форму $\omega$, дает квадратичное отображение $V \otimes \End(R)\to \End(R)$; обозначим через $\tilde\mu:M \to \End(R)$ его ограничение на $M$. Группа $G=\Aut_\Grp(R)/\Gm$ действует на $M$, сохраняя $\Omega$. Пусть $\g$ -- алгебра Ли группы $G$. Легко видеть, что образ $\tilde \mu$ лежит в подпространстве $\g^* \subset (\End(R))^*= \End(R)$; таким образом, имеем отображение $\mu:M\to \g^*$. Немедленно проверяется, что $\mu$ -- отображение моментов для действия $G$ на $M$. Нулевой слой $\mu^{-1}(0)$ параметризует те представления $T(V^*)\#\Grp$, которые пропускаются через $Sym(V^*)\#\Grp$; тем самым, точка $\mu^{-1}(0)$ задает $\Grp$-эквивариантный когерентный пучок на $V$. Оказывается, что один из факторов $\mu^{-1}(0)$ по $G$ в смысле геометрической теории инвариантов совпадает с $X$. А именно, рассмотрим расщепление $\iota:G\to \Aut(R)$ проекции $\Aut(R) \to G$, которое отождествляет $G$ с подгруппой автоморфизмов, тривиальных на $1$-мерном пространстве $\Grp$-инвариантных векторов. Определим характер $\chi:G\to \Gm$, положив $\chi(g)=\det(\iota (g))$. Тогда точка $x\in \mu^{-1}(0)$ $\chi$-стабильна если и только если соответствующий $\Grp$-эквивариантный когерентный пучок на $V$ порожден $\Grp$-инвариантным сечением (см. например \cite{Na98}, также \cite{King}). Итак, симплектическое многообразие $X=\Hilb^\Grp(V) = \mu^{-1}(0) \sllash{}_\chi G$ -- гамильтонова редукция $M$ по $G$. В этих терминах можно описать и тавтологическое векторное расслоение $\R$. Для этого рассмотрим тривиальное векторное расслоени на $M$ со слоем $R$. Используя расщепление $\iota$, его можно снабдить $G$-эквивариантной структурой: определяем действие $G$ на $R$, ограничивая тавтологическое действие с помощью $\iota$, и вводим диагональное действие $G$ на $R\otimes \calo$. Ограничение получившегося $G$-эквивариантного расслоения на $\mu^{-1}(0)$ спускается до векторного расслоения на факторе. Получаем векторное расслоение на $X$, которое отождествлено с $\R$. Как обычно в ситуации гамильтоновой редукции, два шага можно сделать в обратном порядке: сначала берем фактор $M\sllash{}_{\chi}G$ в смысле геометричекой теории инвариантов, потом реализуем $X$ как замкнутую подсхему в $M\sllash{}_{\chi}G$. Подведем итог. \begin{prop}\label{pseudoKing} \begin{enumerate} \item Пусть $M^{ss}\subset M$ -- открытое подмножество представлений, порожденных $\Grp$-инвариантным вектором. Тогда действие $G$ на $M^{ss}$ свободно, и существует геометрический фактор $M^{ss}/G$. Подмногообразие $$ \left(\mu^{-1}(0) \cap M^{ss}\right)/G \subset M^{ss}/G $$ изоморфно $X$, а редукция формы $\Omega$ равна форме $\omega$. \item Снабдим тривиальное векторное расслоение $R\otimes \calo$ диагональным действием $G$. Тогда спуск $R\otimes \calo_{M^{ss}}$ на $M^{ss}/G$ дает $\R$ при ограничении на $X \subset M^{ss}/G$.\endproof \end{enumerate} \end{prop} \subsubsection{Квантовая версия.} Чтобы получать гамильтоновой редукцией квантования, вводим следующее понятие. \begin{defn} Пусть $X$ -- алгебраическое симплектическое многообразие над полем $\kk$ положительной характеристики. Пусть $G$ -- алгебраическая группа, действующая на $X$. Фробениус-постоянное квантование $\calo_h$ многообразия $X$ {\em фробениус $G$-постоянно} если $G$ действует $\calo_h$ так, что действие $G$ на центральное подалгебре $\calo^p_X[[h]]\subset \calo_h$ оставляет $h$ инвариантным и совпадает с естественным действием $G$ на $\calo^p_X \subset \calo^p_X[[h]]$. \end{defn} Подвергая насилию терминологию, мы будем говорить ``отображение из векторного пространства $W$ в пучок $\F$'', имея в виду ``отображение из $W$ в пространство глобальных сечений $\F$''. \begin{defn} Пусть $X$, $G$ таковы, как в предыдущем определении, пусть $\g$ -- алгебра Ли группы $G$, и пусть $\calo_h(X)$ -- фробениус $G$-постоянное квантование $X$. {\it Квантовым отображением моментов} называется гомоморфизм $\kk[[h]]$-алгебр $\mu:U_h(\g)\to \calo_h(X)$ такой, что \begin{enumerate} \item Ограничение $\mu$ на центральную подалгебру $Sym(\g^\tw)[[h]]$ отображает подалгебру $Sym(\g^\tw) \subset Sym(\g^\tw)[[h]]$ в $\calo(X^\tw) \subset \calo(X^\tw)[[h]]$. \item Для любого $\xi\in \g$ и любого локального сечения $s$ пучка $\calo_h$, имеем $\mu(\xi)s-s\mu(\xi)=h \xi(s)$, где $\xi(s)$ -- действие алгебры Ли $\g$ на $\calo_h$, индуцированное действием группы $G$. \end{enumerate} \end{defn} Немедленно проверяется, что, благодаря \thetag{ii}, индуцированное отображение $$ \mu_0:Sym(\g^\tw) \to \calo_X^p, $$ существующее в силу \thetag{i}, есть отображение моментов для действия $G$ на $X$. \begin{example}\label{linexample} Пусть $X=V$ -- симплектическое векторное пространство, и пусть $G=Sp(V)$. Тогда имеем квантовое отображение моментов, переводящее $x\in \ssp(V)\cong Sym^2(V)\subset V\otimes V$ в соответствующий элемент $\W$. Если $G\subset Sp(V)$ -- алгебраическая подгруппа, то получаем квантовое отображение моментов $\mu:\g\to \W$, ограничвая это отображение на подалгебру Ли $\g \subset \ssp(V)$. Отметим, что индуцированный гомоморфизм $U_h(\g)\to \W$ (который мы тоже обозначаем через $\mu$) связан с действием $\Gm$ формулой $\mu (tx)=t^2\mu(x)$. \end{example} \begin{prop}\label{Ham_red_char_p} Пусть $M$ -- гладкое симплектическое многообразие, пусть $G$ -- группа, действующая на $M$, пусть $\calo_h$ -- фробениус $G$-постоянное квантование $X$, и предположим, что дано квантовое отображение моментов $\mu:\g\to \calo_h$. Более того, предположим, что дано такое $G$-инвариантное открытое подмножество $U \subset X$, что $G$ действует на $U$ свободно, и существует геометрический фактор $U/G$; тем самым, проекция $\rho:U \to U/G$ отождествляет $U$ с тотальным пространством главного $G$-расслоения на $U/G$. Тогда пучок $$ (\rho_*\calo_h)^G \subset \rho_*\calo_h $$ есть фробениус-постоянное квантование пуассонова многообразия $U/G$, а его фактор $$ \calo_h(Z) = (\rho_*\calo_h)^G/\langle \rho_*\calo_h\mu(\g)\rho_*\calo_h\rangle^G $$ есть фробениус-постоянное квантование гамильтоновой редукции $$ Z = \left(\mu_0^{-1}(0) \cap U\right)/G \subset U/G. $$ Более того, если $\F$ -- локально проективный $G$-эквивариантный пучок левых $\calo_h$-модулей на $X$, то пучок $(\rho_*\F)^G/I(\rho_*\F)^G$ -- локально проективный пучок $\calo_h(Z)$-модулей на $Z$.\endproof \end{prop} \proof[Набросок доказательства.] Если $S\subset U/G$ -- открытое аффинное подмножество, то, поскольку действие $G$ на $\rho^{-1}(S)$ свободно, алгебра функций на $\rho^{-1}(S)$ есть инъективный объект в категории алгебраических $G$-модулей. Это доказывает первое утверждение. С другой стороны, поскольку действие свободно, $\calo(\rho^{-1}(S))$ плоско над $Sym(\g)$, и $\mu(\g) \calo(\rho^{-1}(S))$ -- инъективный $G$-модуль. Отсюда получаем изоморфизм \begin{equation}\label{vse_ravno} \calo_Z=\rho_*(\calo)^G/(\mu(\g)\rho_*(\calo)^G)\iso \left( \rho_*(\calo)/ \mu(\g)\rho_*(\calo) \right) ^G. \end{equation} Кроме того, $\calo_h(\rho^{-1}(S))$ плоско над $U_h(\g)$, в силу чего $\left( \rho_*(\calo_h)/ \mu(\g)\rho_*(\calo_h) \right) ^G$ -- $h$-плоская деформация $\calo (Z)$. Изоморфизм \eqref{vse_ravno} показывает, что $$ \calo_h(Z)=\rho_*(\calo_h)^G/(\mu(\g)\rho_*(\calo_h)^G) \iso \left( \rho_*(\calo_h)/ \mu(\g)\rho_*(\calo_h) \right) ^G. $$ Как отмечено выше, правая часть здесь есть $h$-плоская деформация $\calo(Z)$, а левая часть снабжена ассоциативным умножением. Ясно, что отображение коммутатора в получающемся пучке алгебр совместимо со скобкой Пуассона; поэтому $\calo_h(Z)$ -- в самом деле квантование $\calo_Z$. Доказательство утверждения про гамильтонову редукцию $\calo_h$-модуля параллельно доказательству утверждения про редукцию пучка алгебр $\calo_h$. \endproof \subsubsection{Квантование разрешение.} Вернемся теперь в ситуацию Предложения~\ref{dim2 Prop}. Совмещая Предложение~\ref{pseudoKing} с Предложением~\ref{Ham_red_char_p}, получаем фробениус-постоянное квантование $\calo_h$ разрешения $X \to V/G$. Из конструкции ясно, что квантование $\calo_h$ градуировано. В силу Леммы~\ref{H^0}, чтобы доказать Предложение~\ref{dim2 Prop}, теперь достаточно показать, что $\calo_h$ совпадает со стандартным квантованием на $V_0 \subset V$. Рассмотрим пучок $\R_h$ $\calo_h$-модулей на $X^\tw$, полученный гамильтоновой редукцией свободного модуля $R\otimes \calo_h(M)$. По Предложению~\ref{Ham_red_char_p} вместе с Предложением~\ref{pseudoKing}~\thetag{ii}, имеем $\R_h/h\R_h\cong \R$. Более того, рассмотрим ограничение пучка $\R_h$ на открытое подмножество $X_0 = V_0/\Grp \subset X$. Мы утверждаем, что существует естественный изоморфизм $$ \R_h \cong \calo_h \otimes_{\calo_{X_0}^p} \calo_{V_0}^p $$ пучков на $X_0$. В самом деле, из определения $\R_h$ возникает действие $\calo(V^\tw)[[h]]=H^0(X^\tw,\R^\tw)[[h]]$ на $\R_h$, коммутирующее с действием $\calo_h$. Из этого действия в свою очередь возникает отображение пучков $$ \calo^p_{V_0}\otimes_{\calo^p_{V/\Grp}} \calo_h\to \R_h. $$ Легко видеть, что оно индуцирует изоморфизм по модулю $h$; поскольку оба пучка плоски над $h$, отображение есть изоморфизм. Теперь, чтобы доказать Предложение~\ref{dim2 Prop}, достаточно применить следующий результат. \begin{lemma} Пусть $\calo_h$ -- такое $\Gm$-эквивариантное фробениус-постоянное квантование $X$, что пучок $$ \calo_h|_{X_0}\otimes _{\calo_{X_0}^\tw}\calo_{V_0^\tw} $$ $\calo_h$-модулей на $X_0=V_0/\Grp$ продолжается до локально проективного $\calo_h$-модуля $\R_h$ на $X$, удовлетворяющего $\R_h/h\R_h\cong \R$. Тогда ограничение квантования $\calo_h$ на открытое подмножество $X_0^\tw=V_0^\tw/\Grp$ изоморфно $\W|_{V_0^\tw}^\Grp$, причем изоморфизм совместим с действием $\Gm$. \end{lemma} \proof{} Достаточно построить $\Grp$-эквивариантный изоморфизм градуированных $(\calo^\Grp)^p$-алгебр \begin{equation}\label{H0 is W} H^0\left(\calo_h\otimes_{\calo_{X_0}^\tw}\calo_{V_0^\tw}\right)\cong \W. \end{equation} Рассмотрим подпространство $V^* \subset \calo(V)$ линейных функций на $V$. В силу, например, \cite{KV} имеем $H^i(X,\R)=0$ при $i>0$. Поэтому отображение $$ H^0(\R_h)=H^0(\calo_h\otimes_{\calo_{X_0}^\tw}\calo_{V_0^\tw}) \to H^0(\R) =\calo(V) $$ сюръективно. В частности, вложение $V \subset \calo(V)$ пропускается через отображение $\iota:V^* \to H^0(\R_h)$. Более того, это отображение можно выбрать $\Gm$-эквивариантным, так что $\Im(\iota)$ лежит в пространстве элементов степени $1$ по отношению к действию $\Gm$. Тогда для любых двух $x,y\in V^*$ элемент $xy-yx$ равен $h \omega(x,y)$ по модулю $h^2$, и имеет степень $2$ по отношению к действию $\Gm$. Из этого очевидным образом следует, что $xy-yx =h \omega(x,y)$. Итак, имеем $\Grp$-эквивариантный мультипликативный гомоморфизм из пополненной алгебры Вейля $\W$ в $$ H^0(\calo_h\otimes_{\calo_{X_0}^\tw}\calo_{V_0^\tw}). $$ Поскольку он индуцирует изоморфизм на присоединенных градуированных факторах по отношению к $h$-адической фильтрации, он и сам является изоморфизмом. \endproof \subsection{Общий случа.}\label{toX} Вернемся к общему случаю Теоремы~\ref{thmqua} (никаких предположений на $\dim V$). Вспомним обозначения $V_1$, $X_1$, введенные в Подразделе~\ref{nota}. \begin{prop}\label{Prop_on_X1} Стандартное квантование $\W^\Grp$ многообразия $X_0 = V_0/\Grp$ продолжается до градуированного фробениус-постоянного квантования $\calo_h$ многообразия $X_1$. \end{prop} \proof{} Фробениус-постоянное квантование $X$ есть когерентный пучок $X\tw$, поэтому к нему применима Лемма~\ref{glue}. Тем самым, достаточно продолжить данное квантование $X_0 = V_0/\Grp \subset X$ до квантования каждой из этальных карт $X_\alpha$. Применяя Предложение~\ref{dim2 Prop} к $Y_\alpha$, получаем градуривоанное фробениус-постоянное $N_\alpha$-эквивариантное квантование $Y_\alpha$. Беря его ($h$-адически пополненное) тензорное произведение со стандартным квантованием векторного пространства $V_\alpha$, получаем градуированное фробениус-постоянное $N_\alpha$-эквивариантное квантование $X_\alpha \subset Y_\alpha \times V_\alpha$. \endproof Чтобы завершить доказательство Теоремы~\ref{thmqua}, остается показать, что фробениус-постоянное квантование $\calo_h$ подмножества $X_1 \subset X$ продолжается до фробениус-постоянного квантования всего $X$. Достаточно доказать следующее. \begin{prop}\label{allX} Любое градуированное фробениус-постоянное квантование $\calo_h$ подмножества $X_1 \subset X$ единственным образом продолжается до градуированного фробениус-постоянного квантования $X$. \end{prop} \proof{} Прежде всего заметим, что достаточно продолжить $\calo_h$ до деформации $\calo(X)$ в пучок ассоциативных алгебр: тогда и действие $\Gm$, и вложение $\calo^p$ в центр $\calo_h$ продолжатся с $X_1$ единственным образом, поскольку $\codim (X\setminus X_1) \geq 2$. Используем Лемму~\ref{def}. Хохшильдовские когомологии гладких многообразий можно вычислять с помощью спектральной последовательности Хохшильда-Костанта-Розенберга, член $E_2$ которой равен $$ H^p(X,\Lambda^q\T(X)), $$ когомологиям степени $p$ с коэффициентами в расслоении $\Lambda^q\T(X)$ поливекторных полей степени $q$ на $X$. Тогда в силу Леммы~\ref{def}, Предложение сводится к следующему утверждению о когомологиях. \begin{lemma} Рассмотрим отображение ограничения $$ \sigma:H^p(X,\Lambda^q\T(X)) \to H^p(X_1,\Lambda^q\T(X_1)) $$ на сумме компонент отрицательного веса. Тогда оно есть изоморфизм при $p+q=1,2$, и инъективно при $p+q=3$. \end{lemma} \proof{} Поскольку пучки поливекторных поей локально свободны, а дополнение $X \setminus X_1 \subset X$ имеет коразмерность по крайней мере $2$, отображение $\sigma$ биективно при $p=0$ и инъективно при $p=1$ (для всех весов). По нашему предпложению \thetag{$\bullet$} имеем $$ H^p(X,\Omega^q_X) = 0 $$ при $p+q > \dim X$. Поскольку $X$ симплектично, имеем $\Omega^p_X \cong \Lambda^{\dim X - p}\T(X)$, так что из этого следует, что $$ H^p(X,\Lambda^q\T(X)) = 0 $$ при $p > q$. Для $q = 0$ это дает $H^p(X,\calo_X) = 0$, $p \geq 1$, и $H^p(X_1,\calo_X) = H^p(V_1/\Grp,\calo_{V/\Grp}) = H^p(V_1,\calo_V)^\Grp$. Поскольку $\codim V \setminus V_1 \geq 4$, из этого следует, что $H^p(X_1,\calo_X)=0$ при $p=1,2$. Если $q=1$, получаем $H^2(X,\T(X)) = 0$, так что отображение $\sigma$ тавтологически инъективно при $p=2$, $q=1$. Осталось рассмотреть сумму компонент отрицательного веса в группе $H^1(X,\T(X))$. Отождествим $\T(X) \cong \Omega^1_X$ с помощью симплектической формы; поскольку симплектическая форма имеет вес $2$, достаточно рассмотреть сумму компонент неположительного веса в $H^1(X,\Omega^1_X)$. Более того, поскольку действие $\Gm$ на $X$ имеет положительные веса, достаточно изучить $\Gm$-инвариантную часть в $H^1(X,\Omega^1_X)$. Мы уже знаем, что отображение $\sigma$ инъективно на $H^1(X,\Omega^1_X)$. Поскольку $\codim X \setminus X_1 \geq 2$, любое линейное расслоение на $X_1$ продолжается на все $X$. Тем самым, чтобы завершить доказательство, достаточно доказать следующий факт. \begin{lemma} Группа $H^1(X_1,\Omega^1_X)^\Gm$ порождена классми Черна линейных расслоений на $X_1$. \end{lemma} \proof{} Пучок $\pi_*\Omega^1_X$ on $V_1/\Grp$ совпадает с $\Grp$-инвариантной частью пучка $\eta_*\Omega^1_V$, где $\eta:V \to V/\Grp$ -- отображение проекции. Поскольку $\codim V \setminus V_1 \geq 4$, имеем $H^i(V_1/\Grp,\pi_*\Omega^1(X)) = 0$ при $i = 1,2$. Поэтому $$ H^1(X_1,\Omega^1_X) = H^0(V_1/\Grp,R^1\pi_*\Omega^1_X). $$ Пучок $R^1\pi_*\Omega^1_X$ сосредоточен на дополнении $V_1/\Grp\setminus V_0/\Grp$, которое распадается в несвязное объединение компонент $H_\alpha$. Поэтому на $V_1/\Grp$ имеем $$ R^1\pi_*\Omega^1_X = \bigoplus_\alpha \left(\eta_{\alpha,*}\eta_\alpha^* R_1\pi_*\Omega^1_X \right)^{N_\alpha}, $$ где $\eta_\alpha:U_\alpha \to V_1/\Grp$ -- этальные карты, построенные в Разделе~\ref{gen}. Замена базы дает $$ \eta_\alpha^*R^1\pi_*\Omega^1_X \cong R^1\pi_*\Omega^1_{X_\alpha}. $$ Напомним, что $X_\alpha$ -- плотное открытое подмножество в $\overline{X}_\alpha = Y_\alpha \times V_\alpha$. Пучок $\Omega^1_{\overline{X}_\alpha}$ on $\overline{X}_\alpha$ разлагается в прямую сумму $$ \left( \Omega^1_{Y_\alpha} \boxtimes \calo_{V_\alpha} \right) \oplus \left( \calo_{Y_\alpha} \boxtimes \Omega^1_{V_\alpha} \right), $$ а раз $H^1(Y_\alpha,\calo_{Y_\alpha})=0$, имеем $$ R^1(\pi_\alpha\times id)_* (\calo_{Y_\alpha} \boxtimes \Omega^1_{V_\alpha})=0 $$ по формуле проекции. Поэтому $$ R^1\pi_*\Omega^1_{X_\alpha} \cong R^1\pi_{\alpha,*}\Omega^1_{Y_\alpha} \boxtimes \calo_{V_\alpha}. $$ Заключаем, что $$ H^0(V_1/\Grp, R^1\pi_*\Omega^1_{X_1}) \cong \bigoplus_\alpha \left(H^1(Y_\alpha,\Omega^1_{Y_\alpha}) \otimes H^0(U_\alpha,\calo_{V_{\alpha,0}})\right)^{N_\alpha}, $$ и, поскольку дополнение $V_\alpha \setminus V_{\alpha,0}$ имеет коразмерность по меньшей мере $2$, имеем $$ H^0(U_\alpha,\calo_{V_{\alpha,0}}) \cong \calo_{V_\alpha} $$ для каждого $\alpha$. Осталось доказать, что группа элементов веса $0$ в \begin{equation}\label{grpp} \left(H^1(Y_\alpha,\Omega^1_{Y_\alpha}) \otimes \calo_{V_\alpha}\right)^{N_\alpha} \end{equation} порождена классами Черна $N_\alpha$-эквивариантных линейных расслоений на $\overline{X}_\alpha$. Но легко видеть, что $H^1(Y_\alpha,\Omega^1_{Y_\alpha})$ порождено классами Черна компонент исключительной кривой $E = \pi_\alpha^{-1}(0) \subset Y_\alpha$, а $\Gm$ действует на эту группу тривиально. С другой стороны, единственные функции неположительного веса на $V_\alpha$ -- это константы. Итак, любой $N_\alpha$-инвариантный элемент веса $0$ в группе \eqref{grpp} есть линейная комбинация классов Черна дивизоров вида $D \times V$, где $D$ -- $N_\alpha$-инвариантный дивизор с носителем на $E$. Каждый такой дивизор $D \times V$ соответствует дивизору на $X_1$. \endproof \section{Эквивалентности.}\label{last} С этого момента мы будет использовать нижние индексы, чтобы обозначать кольцо скаляров; так, для любой $R$-алгебры $A=A_R$, кольцо $A \otimes_R R'$ будем обозначать через $A_{R'}$. \subsection{Предположения.}\label{ass} Зафиксируем алгебрацически замкнутое поле $\K$ характеристики ноль, и набор данных $\langle V,\omega, \Grp, X\rangle$, определенных над $\K$ -- $V$ есть конечномерное векторное пространство над $\K$, $\omega$ -- симплектическая форма на $V$, $\Grp \subset Sp(V)$ -- конечная подгруппа, а $X \to V/\Grp$ -- проективное гладкое крепантное разрешение фактормногообразия $V/\Grp$. Пусть $R\subset K$ -- такая $\Zet$-алгебра конечного типа, что $\langle V,\omega, \Grp, X\rangle$ определены над $R$; мы предполагаем, что $R\cong {\mathbb A}^n_R$, $\omega_R$ симплектично; $\Grp\subset Sp(n,R)$, $X$ гладко над $R$, а $\pi: X\to V/\Grp$ собственно (в дальнейшем, мы будем просто говорить ``определено над $R$'', неявно предполагая все эти естественные условия). Тогда лгебра Вейля тоже определена над $R$. Ясно, что такое $R$ существует. В силу \cite{Ka} отображение $X \to V/\Grp$ полумало. По \cite{K3}, из этого следует, что $H^p(X,\Omega^q_X) = 0$ при $p + q > \dim X$. Поэтому, локализуя при необходимости $R$, мы можем считать, что редукция $X_\kk$ в каждой замкнутой точе $\Spec \kk \in \Spec R$ положительной характеристики удовлетворяет условию \thetag{$\bullet$} в начале Раздела~\ref{quant} (чтобы проверить, что локус плохих точек есть замкнутое по Зарисскому алгебраическое подмногообразие, используем действие $\Gm$ с положительными весами). При необходимости дополнительно локализуя $R$, добиваемся того, что все предположения Раздела~\ref{quant} выполнены для всех $X_\kk$. Обозначим $\bWbar =\bW/(h-1)\bW$. \begin{lemma}\label{Morita} Существует такое плотное аффинное открытое подмножество $\Spec(R')\subset \Spec(R)$, что бимодуль $\bWbar_{R'}$ задает эквивалентность Морита $$ \bWbar^\Grp_{R'} \sim (\bWbar\#\Grp)_{R'}. $$ \end{lemma} \proof{} Можно предположить, что $|\Grp|^{-1}\in R$. Положим $$ e=\frac{1}{|\Grp|}\sum\limits_{\grp\in \Grp}\grp \in R[\Grp]\subset (\bWbar\#\Grp). $$ Тогда $e$ -- идемпотент, $\bWbar^\Grp_{R'} =e\left( (\bWbar\#\Grp)_ {R'}\right) e$, и, как хорошо известно, достаточно проверить, что $e$ порождает единичный двусторонний идеал в $(\bWbar\#\Grp)_{R'}$. Алгебра $\bWbar_{\K}$ проста; легко вывести, что алгебра $(\bWbar_{\K}\#\Grp)$ также проста; поэтому $e$ порождает единичный идеал в $(\bWbar\#\Grp)_{\K}$. Следовательно, он порождает единичный идеал в $(\bWbar\# \Grp)_{R'}$ для некоторого $R'\subset K$ конечного типа над $R$. \endproof \subsection{Эквивалентность для алгебры Адзумая в положительной характеристике.} Возьмем $R'$, удовлетворяющее заключению Леммы~\ref{Morita}, и зафиксируем замкнутую точку $\Spec\kk \in \Spec R'$. Положим $X = X_\kk$, $V = V_\kk$. Рассмотрим градуированное фробениус-постоянное квантование $\calo_h$ многообразия $X$, построенное в Теореме~\ref{thmqua}. Продолжим его до пучка $\bO_h$ на $X \times \Spec \kk[h,h^{-1}]$, используя Лемму~\ref{gra}. Положим $\bO=\bO_h/(h-1)\bO_h$; тем самым $\bO$ -- локально свободный пучок на $X^\tw$. \begin{lemma} Имеем $H^i(\bO)=0$ при $i>0$, а $H^0(\bO)=\bWbar^\Grp$ как алгебра над $\calo(V^\tw)^\Grp$. \end{lemma} \proof{} Утверждение немедленно следует из конструкции; однако оно заслуживает того, чтобы вынести его в отдельную Лемму, поскольку представляет собой ключевое место в доказательстве Теоремы~\ref{main}. \endproof В силу Предложения~\ref{azu}, алгебра $\bO$ есть алгебра Адзумая ранга $p^{\dim X}$. \begin{theorem}\label{equivAzu} Имеем эквивалентности производных категорий $$ D^b\left(\Coh(X,\bO)\right) \cong D^b\left(\bWbar_{\kk}^\Grp\fmod\right)\cong D^b\left(\bWbar{\#\Grp}_{\kk}\fmod\right), $$ где первая эквивалентность дается производным функтором от функтора глобальных сечений, а вторая дается Леммой~\ref{Morita}. \end{theorem} \proof{} Вторая эквивалентность дается Леммой~\ref{Morita}. Остается доказать, что производный функтор от функтора глобальных сечений дает эквивалентность $$ D^b\left(\Coh(X,\bO)\right) \cong D^b\left(\bWbar_{\kk}^\Grp\fmod\right). $$ Мы проверим, что свободный модуль ранга $1$ над $\bO$ есть почти исключительный объект в $\Coh(X^\tw,\bO)$; после этого требуемое утверждение вытекает из Предложения~\ref{CYProp}. Алгебра $\bWbar$ имеет конечную гомологическую размерность, поскольку присоединенная градуированная алгебра по отношению к естественной фильтрации изоморфна симметрической алгебре $Sym(V^*)$, гомологическая размерность которой конечна. Поскольку $\cchar\kk$ не делит $|\Grp|$, алгебра $\bWbar\#\Grp$ также имеет конечую гомологическую размерность; в силу эквивалентности, доставляемой Леммой ~\ref{Morita}, то же самое верно для алгебры $\bWbar^\Grp$. Поскольку $H^i(X,\calo)$ при $i \geq 1$, объект $\bO\in \Coh(X^\tw_{\kk },\bO)$ в самом деле почти исключителен. \endproof \subsection{Раскрутка.} Используем обозначения предыдущего Подраздела. Устраним алгебры Адзумая. \begin{prop}\label{untwisting} Существует алгебра Адзумая $\A$ на $V^\tw/\Grp$, ограничение которой на $V_{0}^\tw/\Grp$ подобно $W^\Grp|_{V^\tw_0/\Grp}$. \end{prop} \noindent Предложение немедленно следует из следующего факта. \begin{lemma} Пусть $S$ -- аффинная схема, на которой действует конечная группа $\Grp$, причем $|\Grp|$ обратимо на $S$. Пусть $p:S\to S/\Grp$ -- проекция в категорный фактор. Пусть $l\in \Zet_{>0}$ взаимно просто с $|\Grp|$. Тогда $p^*$ индуцирует изоморфизм $Br(S/\Grp)[l]\iso Br(S)[l]^\Grp$, где $[l]$ обозначает $l$-кручение. \end{lemma} \proof{} По Теореме О. Габбера \cite{Ga}, для любой аффинной схемы $X$ имеем $Br(X)[l]=H^2(X_{et},\Gm)[l]$. Для любого конечного морфизма $p$, высшие прямые образы в этальной топологии $R^ip_*(\Gm)$, $i \geq 1$ тривиальны; в самом деле, слой пучка $R^ip_*(\Gm)$ в геометрической точке $x$ есть $i$-я группа когомологий этального пучка $\calo^*$ на спектре некоторого коммутативного кольца $R$, конечного над строго гензелевым кольцом (см. \cite[Theorem III.1.15]{Milne}); но тогда само $R$ строго гензелево в силу \cite[Corollary I.4.3]{Milne}, и потому эта группа когомологий обращается в ноль. Имеем отображение нормы $Nm:p_*(\Gm_S)\to \Gm_{S/\Grp}$. Оно индуцирует отображение $$ Nm: Br(S)[l]=H^2\left((S/\Grp)_{et},p_*(\Gm)\right)[l] \to H^2\left((S/\Grp)_{et}, \Gm\right)[l]=Br(S/\Grp)[l]. $$ Имеем $Nm\circ p^*(c)=|\Grp|\cdot c$ и $p^*\circ Nm(c)=\sum_{\gamma\in \Grp}\gamma^*(c)$. Получаем требуемое утверждение. \endproof \begin{remark} Это Предложение вдохновлено результатом \cite{MR}, где введен аналог вышеописанной алгебры Адзумая $\A$. Точнее, в {\it loc. cit.} явно построена алгебра Адзумая на нильпотентном конусе простой алгебры Ли $\g$ над полем характеристики $p$. Это алгебра получается из универсальной обертывающей $U(\g)$ редукцией в ``особом'' характере центральной подалгберы $Sym({\mathfrak t})^W$; особый центральный характер получается из особого веса $-\rho$ (здесь ${\mathfrak t}$ -- подалгебра Картана $\g$, а $W$ -- группа Вейля). \end{remark} \begin{theorem}\label{Thm equiv char p} Предположим, что данные $\langle V,\omega, \Grp,X \rangle$ над полем вычетов $\kk = R'/\m$ положительной характеристики удовлетворяют предположениям Теоремы~\ref{equivAzu}. тогда они также удовлетворяют заключению Теоремы~\ref{evb} (а следовательно, и Теоремы~\ref{main}). \end{theorem} \proof{} Пусть $\A$ -- алгебра Адзумая, построення в Предложении~\ref{untwisting}. Мы утверждаем, что сущсествуют эквивалентности \begin{gather} \Coh(X^\tw)\cong \Coh(X^\tw,\bO \otimes \pi^*(\A^{op}));\label{split 1}\\ D^b\left( \Coh\left (X^\tw,\bO \otimes_{\calo_{V ^\tw }} \A^{op} \right) \right)\cong D^b\left( \bWbar_{\kk }^\Grp\otimes_{\calo_{V^\tw }^\Grp} \A^{op}\fmod\right);\label{D afin untwisted}\\ \bWbar_{\kk }^\Grp\otimes_{\calo_{V^\tw }^\Grp} \A^{op}\fmod\cong \left( \left(\bWbar_{\kk }\otimes_{\calo_{V^\tw }} \eta^*( \A^{op})\right) \#\Grp \right)\fmod;\label{Morita untwist}\\ \Coh^\Grp(V^\tw ) \cong \left( \left( \bWbar_{\kk }\otimes_{\calo_{V ^\tw}} \eta^*( \A^{op})\right) \#\Grp\right)\fmod.\label{split 2} \end{gather} Здесь \eqref{split 1}, соотвественно \eqref{split 2} получаются, как только мы докажем, что алгебра Адзумая $\bO \otimes \pi^*(\A^{op})$ (соответственно, $ \bWbar_{\kk }\otimes_{\calo_{V ^\tw}} \eta^*( \A^{op})$), стоящая в правой части, расщепляется (соответственно, допускает $\Grp$-эквивариантное расщепление). В обоих случаях они расщеплены на открытом подмножестве в силу характеристического свойства $\A$; следователньо, они расщепляются всюду в силу \cite[Corollary IV.2.6]{Milne} (группа Брауера неприводимой регулярной схемы вкладывается в группу Брауера ее общей точки); $\Grp$-эквивариантная структура на расщепляющем расслоении для $\bWbar_{\kk }\otimes_{\calo_{V ^\tw}} \eta^*( \A^{op})$ продолжается из $V_0$ на $V$, поскольку $\codim (V\setminus V_0)\geq 2$. Эквивалентность \eqref{Morita untwist} параллельна эквивалентности в Лемме~\ref{Morita}, и следует из того факта, что, раз идемпотент $e=\frac{1}{|\Grp |}\sum_{\grp\in \Grp}$ порождает единичный двусторонний идеал в $\bWbar_{\kk}{\#\Grp}$, он порождает единичный идеал и в $(\bWbar_{\kk}\otimes \eta^*(\A^{op})){\#\Grp}$. Наконец, эквивалентность \eqref{D afin untwisted} параллельна эквивалентности в Теореме~\ref{equivAzu}. А именно, по формуле проекции получаем $$ H^0\left(\bO\otimes_{\calo_{V ^\tw}^\Grp} \A^{op}\right) = \bWbar_{\kk }^\Grp\otimes_{\calo_{V^\tw }^\Grp} \A^{op}. $$ Также из формулы проектции следует, что высшие группы когомологий пучка в левой части последнего равенства обращаются в ноль. В силу \eqref{Morita untwist} алгебра в правой части имеет конечную гомологическую размерность. Поэтому \eqref{D afin untwisted} вытекает из Предложения~\ref{CYProp}. Компонуя эквивалентности \eqref{split 1}--\eqref{split 2}, получем эквивалентность производных категорий когерентных пучков; теперь в качестве $\E$ можно взять образ структурного пучка $\calo_V{\#\Grp}\in \Coh^\Grp(V)$ при этой эквивалентности. Осталось проверить, что $\E$ -- векторное расслоение; тогда из эквивалентности категорий следует, что оно удовлетворяет заключению Теоремы~\ref{evb}. Используем следующее более подробное описание $\E$. Пусть $\B$ -- $\bO \otimes \pi^*(\A^{op})$-модуль, дающий эквивалентность Морита между $\bO$ и $ \pi^*(\A)$; и пусть $B$ -- $\bW \otimes \eta^*(\A^{op})$-модуль, дающий эквивалентность Морита между $\bW$ и $ \eta^*(\A)$. Из определения следует, что все эти эквивалентности переводят когерентный пучок $\B \in Coh(X^\tw)$ в $B\otimes\kk[\Grp]\in Coh^\Grp(V^\tw)$. Векторное расслоение $B$ на $V^\tw$ тривиально по теореме Суслина-Квиллена. Поэтому $\calo\#\Grp$ -- прямое слагаемое в $B\otimes \kk[\Grp]$, и $\E$ -- прямое слагаемое в $\B$; в частности, оно есть векторное расслоение. \endproof \begin{remark} Вышеописанное явное описание $\E$ можно слегка упростить, если ограничиться рассмотрением ограничения $\E$ на формальную окрестность слоя $\pi$. Тогда алгебра $\bO$ расщепляется, и неразложимые слагаемые $\E$ суть неразложимые слагаемые расщепляющего векторного расслоения для $\bO$. \end{remark} \subsection{Характеристика ноль.} Теперь мы можем завершить доказательство Теоремы~\ref{main}. Достаточно доказать Теорему~\ref{evb}. \begin{lemma}\label{k1k2} Пусть даны поля $\kk_1\subset \kk_2$ (не обязательно алгебраически замкнутые). Предположим, что $V$, $\omega$, $\Grp$, $X$ определены над $\kk_1$. Если утверждения Теоремы~\ref{evb} верны для $V$, $\omega$, $\Grp$, $X$, то они также верны для $V_{\kk_2}$, $\omega_{\kk_2}$, $\Grp$, $X_{\kk_2}$. Наоборот, если они верны для $V_{\kk_2}$, $\omega_{\kk_2}$, $\Grp$, $X_{\kk_2}$, то они верны и для $V_{\kk_1'}$, $\omega_{\kk_1'}$, $\Grp$, $X_{\kk_1'}$, где $\kk_1'$ -- некоторое конечное расширение $\kk_1$. \end{lemma} \proof{} Первое утверждение очевидно. Чтобы доказать второе, рассмотрим такую $\kk_1$-алгебру конечного типа $R\subset \kk_2$, что и векторное расслоение $\E_{\kk_2}$, существующее по Теореме~\ref{evb}, и изоморфизм $\End(\E)\cong \calo_V\#\Grp$ определены над $R$. Тогда в качестве $\kk_1'$ можно взять поле вычетов любой замкнутой точки $\Spec(R)$. \endproof \proof[Доказательство Теоремы~\ref{evb}.] Вернемся к обозначениям Подраздела~\ref{ass}; заменим $R$ на $R'$, данное Леммой~\ref{Morita}. Возьмем любую замкнутую точку $\Spec \kk \in \Spec R$, в которой $R$ регулярно, а поле вычетов $\kk = R/\m$ имеет положительную характеристику. Пусть $\wt{R}$ -- пополнение $R$ по $\m$-адической топологии, и пусть $\K'$ -- его поле частных. По Теореме~\ref{Thm equiv char p}, Теорема~\ref{evb} верна для $X_\kk$. Более того, по построению векторное расслоение $\E$ на $X_\kk$ удовлетворяет предположениям Предложения~\ref{lifts}. Следовательно, Теорема~\ref{evb} верна также и для $X_{\K'}$. Применяя Лемму~\ref{k1k2}, заключаем, что Теорема~\ref{evb} верна над конечным расширением $F$ поля частных кольца $R$. Поскольку $F$ изоморфно подполю $\K$, заключаем, что и в исходной ситуации Теорема верна. \endproof \begin{thebibliography}{BMR} \bibitem[BO]{Ogus} P. Berthelot and A. Ogus, {\it Notes on crystalline cohomology}, Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1978. \bibitem[BMR]{MR} R. Bezrukavnikov, I. Mirkovi\'c, and D. Rumynin, {\em Localization of modules for a semisimple Lie algebra in prime characteristic}, math.RT/0205144. \bibitem[BKR]{BKR} T. Bridgeland, A. King, and M. Reid, {\em The McKay correspondence as an equivalence of derived categories}, J. Amer. Math. Soc. {\bf 14} (2001), 535--554. \bibitem[BK]{BK} А.И. Бондал и М.М. Капранпов, {\it Представимые функторы, функторы Серра и перестройки}, Изв. Ак. Наук, {\bf 53} (1989), 1183--1205. \bibitem[BOr]{BO} A. Bondal and D. Orlov, {\it Derived categories of coherent sheaves}, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002), 47--56, Higher Ed. Press, Beijing, 2002. \bibitem[G]{Ga} O. Gabber, {\em Some theorems on Azumaya algebras}, The Brauer group (Sem., Les Plans-sur-Bex, 1980), Lecture Notes in Math. {\bf 844}, Springer, Berlin-New York, 1981. \bibitem[GV]{SV} G. Gonzalez-Sprinberg and J.-L. Verdier, {\em Construction g\' eom\' etrique de la correspondance de McKay}, Ann. ENS {\bf 16} (1983), 409--449. \bibitem[H]{Haim} M. Haiman, {\em Hilbert schemes, polygraphs, and the Macdonald positivity conjecture}, JAMS {\bf 14} (2001), 941--1006. \bibitem[Ha]{Ha} R. Hartshorne, {\em Residues and duality}, Lecture notes of a seminar on the work of A. Grothendieck, given at Harvard 1963/64. With an appendix by P. Deligne. Lecture Notes in Math. {\bf 20} Springer-Verlag, Berlin-New York 1966. \bibitem[IN]{IN} Y. Ito and I. Nakamura, {\em McKay correspondence and Hilbert schemes}, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. {\bf 72} (1996), 135--138. \bibitem[Ka1]{Ka} D. Kaledin, {\it Dynkin diagrams and crepant resolutions of singularities}, math.AG/9903157, to appear in Selecta Math. \bibitem[Ka2]{K3} D. Kaledin, {\em Sommese Vanishing for non-compact manifolds},\\ math.AG/0312271. \bibitem[K]{Kapranov} M. Kapranov, {\it Noncommutative geometry based on commutator expansions}, J. Reine Angew. Math. {\bf 505} (1998), 73--118. \bibitem[KV]{KV} M. Kapranov and E. Vasserot, {\em Kleinian singularities, derived categories and Hall algebras}, Math. Ann. {\bf 316} (2000), 565--576. \bibitem[Ke]{kel} B. Keller, {\em On the cyclic homology of exact categories}, J. Pure Appl. Algebra {\bf 136} (1999), 1--56. \bibitem[Ki]{King} A. King, {\it Moduli of representations of finite-dimensional algebras,} Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) {\bf 45} (1994), 515--530. \bibitem[Kr]{Kr} P.B. Kronheimer, {The construction of ALE spaces as hyper-K\"ahler quotients}, J. Diff. Geom. {\bf 29} (1989), 665--683. \bibitem[Lu]{Lu} G. Lusztig, {\it On quiver varieties}, Adv. Math. {\bf 136} (1998), 141--182. \bibitem[M]{Milne} J.S. Milne, {\em \'Etale cohomology}, Princeton Math. Series, {\bf 33}, Princeton U. Press (1980). Имеется перевод: Дж. Милн, {\em Этальные когомологии}, М., Мир, 1982. \bibitem[N1]{Na98} H. Nakajima, {\em Quiver varieties and Kac-Moody algebras}, Duke Math. J. {\bf 91} (1998), 515--560. \bibitem[N2]{N1} H. Nakajima, {\em Lectures on Hilbert schemes of points on surfaces}, University Lecture Series, {\bf 18}. American Mathematical Society, Providence, RI, 1999. \bibitem[R]{reid} M. Reid, {\em McKay correspondence}, alg-geom/9702016 v3, 1997. \end{thebibliography} \bigskip \noindent {\sc Northwestern University\\ Evanston IL 60208\\ USA\\ \mbox{}\\ и\\ \mbox{}\\ МИРАН им. Стеклова, отдел алгебры\\ ул. Губкина, 8\\ Москва, СССР\\ \mbox{}\\ {\em Электронные адреса\/}: {\tt bezrukav@math.northwestern.edu}\\ \phantom{{\em Электронные адреса\/}: }{\tt kaledin@mccme.ru}} \end{document}