На главную страницу
На главную страницу
На главную страницу
English page
English page
ФАНО России | РАН | Math-Net.Ru | ММО | Scopus | MathSciNet | Zentralblatt MATH | Проверка почты | Справка 

   
 Об институте
 Научная деятельность
 Публикации
 Правила оформления научных работ
 Администрация
 Ученый совет
 Диссертационные советы
 Отделы
Сотрудники 
 Аспирантура
 Научно-образовательный центр
 Совет молодых ученых
 Профком МИАН
 Семинары
 Конференции
 Мероприятия
 Издания МИАН
 In memoriam
 Фотогалерея МИАН
 Музей МИАН
 Реквизиты МИАН
 Устав МИАН
 Библиотека


    Адрес института
Адрес: Россия, 119991, Москва, ул. Губкина, д. 8
Тел.: +7(495) 984 81 41
Факс: +7(495) 984 81 39
Сайт: www.mi.ras.ru
E-mail: steklov@mi.ras.ru

Посмотреть карту
Схема проезда

   

Иван Матвеевич Виноградов (1891–1983)

Иван Матвеевич Виноградов Иван Матвеевич Виноградов (1891–1983)
Члены Российской академии наук в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН. К 75-летнему юбилею МИАН. Биографический словарь-справочник. Под общей редакцией академика В. В. Козлова. / Авторы-составители: Э. П. Зимин, С. В. Кисляков, Г. С. Монахтина, В. П. Павлов. – М.: Янус-К, 2009

А. А. Карацуба, «Теория чисел – одна, но пламенная страсть»
Вестник АН СССР, 1991, № 9, с. 92–96

И. Р. Шафаревич, «Патриарх отечественной математики»
Вестник АН СССР, 1991, № 9, с. 96–100

Из творческого наследия ученого
Вестник АН СССР, 1991, № 9, с. 101–103

Иван Матвеевич Виноградов
Библиография ученых СССР, сер. математики, вып. 14, М.: Наука, 1978. Основные даты жизни и деятельности И. М. Виноградова. Краткий очерк научной, научно-организационной и педагогической деятельности. Литература о жизни и трудах И. М. Виноградова. Хронологический указатель трудов. Именной указатель соавторов. Алфавитный указатель трудов.

Рукопись димпломной работы И. М. Виноградова "Суммы Гаусса и приложение их к доказательству закона взаимности квадратичных вычетов"
Вверху надпись карандашом научного руководителя академика Я. В. Успенского: "Представленную работу считать весьма удовлетворительной".

Теория чисел – одна, но пламенная страсть1

Иван Матвеевич Виноградов родился 14 сентября 1891 г. в селе Милолюб Великолукского уезда Псковской губернии; отец его был сельским священником, мать – учительницей. Среднее образование он получил в Великих Луках, после этого стал студентом физико-математического факультета Петербургского университета. В университете Виноградов, занимаясь на математическом отделении, особое внимание обратил на теорию чисел.

В 1914 г. Иван Матвеевич окончил университет и за работу по распределению квадратичных вычетов и невычетов был оставлен при университете для подготовки к профессорской деятельности. По инициативе В. А. Стеклова в 1915 г. ему назначили стипендию.

Готовясь к сдаче весьма обширных магистерских экзаменов, Виноградов принялся за решение труднейших задач теории чисел и уже в 1914–1918 гг. выполнил работы, не уступавшие по силе исследованиям крупнейших специалистов по теории чисел того времени. Однако далеко не все они были своевременно опубликованы. К тому же в первые послереволюционные годы связь советских ученых с зарубежными коллегами прервалась. У нас, например, не были известны работы Г. Вейля по оценке тригонометрических сумм, Г. Харди и Д. Литтлвуда по проблеме Варинга, тогда как за границей не знали первых работ Виноградова. Правда, некоторые из них окольными путями все же попадали на Запад, например, работа о числе целых точек в областях на плоскости и в пространстве, опубликованная в 1918 г. Харьковским математическим обществом. Ее оттиски, сделанные в 1917 г., как выяснилось, были направлены академиком Я. В. Успенским за границу, в частности, в Гёттинген профессору Э. Ландау.

В 1918–1920 гг. Иван Матвеевич работает в Перми сначала доцентом, а потом профессором Пермского государственного университета. В конце 1920 г. возвращается в Петроград и становится профессором Политехнического института, а несколько позднее – профессором Петроградского государственного университета. В Политехническом институте Виноградов читает оригинально построенный курс высшей математики, а в университете – курс теории чисел, на базе которого возник известный его учебник «Основы теории чисел». При очень небольшом объеме он не только знакомит читателя с элементами теории чисел, начиная действительно с основ – с определения делимости целого числа на другое, но и содержит задачи (с указанными путями решения), которые вплотную подводят к сложным вопросам современной науки. В 1981 г. вышло 9-е наиболее совершенное издание этого знаменитого учебника (переводы его изданы в ряде стран).

Одновременно с профессорской деятельностью Иван Матвеевич ведет интенсивнейшую научную работу. В частности, создает методы, позволяющие получать решение новых аддитивных задач теории чисел, дает оценки тригонометрических сумм, более общих, чем суммы Вейля. С его работами начинают знакомиться за рубежом. В 1927 г. в известном труде «Лекции по теории чисел» Э. Ландау появляется глава «Метод Виноградова», результатам русского ученого коллеги дают самую высокую оценку.

В январе 1929 г. Виноградов избирается действительным членом Академии наук СССР, начинается его большая научно-организационная деятельность. И. М. Виноградов и С. И. Вавилов разрабатывают планы коренной реорганизации Физико-математического института Академии наук СССР, после чего Иван Матвеевич осуществляет на правах директора руководство математическим отделом института. В 1934 г. институт разделяется на два самостоятельных учреждения – Математический институт им. В. А. Стеклова и Физический институт им. П. Н. Лебедева. Директором первого назначили академика И. М. Виноградова, который занимал этот пост до конца своей жизни (20 марта 1983 г.).

Первая научная работа Ивана Матвеевича написана в 1914 г. под руководством Я. В. Успенского и относится к теории квадратичных вычетов. Основы теории заложены Эйлером, Гауссом, Лежандром и составляют главную часть современной элементарной теории чисел. Перед Виноградовым была поставлена задача: дать возможно более простое доказательство закона взаимности Гаусса. Работая над ней, он формулирует новую проблему о распределении квадратичных вычетов и получает результаты, сила и глубина которых остаются непревзойденными до настоящего времени.

Следующий цикл работ Виноградова посвящен вопросу асимптотического поведения числа «целых точек» в плоских областях. В 1903 г. Г. Вороной разработал метод, с помощью которого доказал, что остаточный член в асимптотической формуле Дирихле, выражающей число целых точек с положительными координатами под гиперболой, не превосходит по порядку корня кубического из главного члена (метод Вороного с аналогичным результатом перенесен В. Серпинским на проблему Гаусса). Иван Матвеевич в 1917 г. рассмотрел более общую проблему: нахождение асимптотических формул для числа целых точек в произвольных плоских областях. Он разработал арифметический метод, позволивший доказать теорему о числе целых точек в плоских областях, которые могут быть составлены из конечного числа криволинейных трапеций. Позднее В. Ярник доказал, что остаточный член в этой формуле с точностью до логарифмического множителя неулучшаем на рассматриваемом классе областей.

В этой работе Виноградов в грубом, но совершенно отчетливом виде развил метод замены тригонометрической суммы более «короткой» суммой (идею замены высказал Вороной; частный случай такой же формулы рассмотрен в работе Харди и Литтлвуда 1914 г., посвященной выводу приближенного функционального уравнения дзета-функции Римана). Удобный для приложений и наиболее совершенный вид «формула замены» имеет в монографии Виноградова «Особые варианты метода тригонометрических сумм» (1976).

С 1924 г. Иван Матвеевич занимается аддитивными проблемами теории чисел. Первым результатом стало новое решение проблемы Варинга, которое послужило началом создания мощного метода современной теории чисел – метода тригонометрических сумм. В 1770 г. Э. Варинг высказал предположение, обобщающее теорему Лагранжа о представимости натурального числа суммой четырех квадратных целых чисел. Это предположение формулируется так: при любом фиксированном целом $n\geqslant 3$ каждое натуральное число можно представить суммой фиксированного числа $n-x$-степеней натуральных чисел. Общее решение проблемы Варинга дано Д. Гильбертом в 1909 г. Его метод носил частный характер, был сложным и не нашел дальнейших применений. В 1922 г. Харди и Литтлвуд разработали новый метод (так называемый «круговой метод Харди–Литтлвуда–Рамануджана») решения широкого класса аддитивных задач, с помощью которого они дали, в частности, новое доказательство теоремы Гильберта–Варинга. Круговой метод Харди–Литтлвуда–Рамануджана имел своим истоком метод производящих функций Эйлера (с его помощью Эйлер решал линейные аддитивные задачи) и опирался на теорию функций комплексного переменного (в качестве «производящих функций» рассматривались бесконечные ряды в области комплексного переменного, а для вычисления коэффициентов этих рядов использовалась интегральная формула Коши). В 1927 г. Иван Матвеевич применил к решению проблемы Варинга конечные тригонометрические суммы, что привело не только к новому, достаточно простому доказательству, но и открыло пути для решения других сложных проблем теории чисел.

Целые числа расположены среди вещественных чисел периодически Простейшие тригонометрические функции – синус и косинус, являясь периодическими (период $2\pi$), позволяют аналитически выделять целые числа из множества всех вещественных. Тригонометрические суммы – это конечные суммы синусов и косинусов, аргументами которых являются вещественные целочисленные функции. С помощью интегралов от таких сумм достаточно просто записываются формулы, выражающие число решений произвольного уравнения в целых числах, и проблемы распределения дробных долей целочисленных функций. К тригонометрическим суммам сводятся и проблемы целых точек в областях на плоскости и в пространстве – для этого достаточно разложить функцию «дробная доля $x$» в ряд Фурье. Тем самым широкий круг разнообразных проблем теории чисел формулируется единообразно на языке тригонометрических сумм.

Общая схема исследования названных проблем теории чисел методом тригонометрических сумм Виноградова такова: выписывается точная формула, выражающая число решений изучаемого уравнения или число дробных долей изучаемой функции, попадающих в заданный интервал, или число целых точек в заданной области, в виде интеграла от тригонометрической суммы; точная формула представляется суммой двух слагаемых – главного и дополнительного (например, если рассматривается ряд Фурье характеристической функции интервала, то главный член получается от нулевого коэффициента ряда Фурье); главное слагаемое доставляет главный член асимптотической формулы, дополнительное – остаточный. В таких аддитивных задачах, как проблема Варинга или проблема Гольдбаха, главное слагаемое исследуется методом, близким к круговому методу Харди–Литтлвуда–Рамануджана (сейчас его называют «круговым методом Харди–Литтлвуда–Рамануджана в форме тригонометрических сумм Виноградова»). В большинстве других задач (распределение дробных долей, целые точки в областях и др.) главный член получается тривиально. Теперь возникает проблема оценки остаточного члена, и если удается доказать, что он является величиной меньшего порядка, чем главный, то тем самым доказывается асимптотическая формула и решается поставленная задача При оценке остаточного члена важно получить возможно более точные оценки возникающих здесь тригонометрических сумм. При доказательстве теоремы Варинга Виноградов оценивал тригонометрические суммы методом Вейля (эти суммы, а также более общие, у которых в экспоненте стоит произвольный многочлен, он стал называть «суммами Вейля»).

Кроме проблемы Варинга, Иван Матвеевич решил своим методом тригонометрических сумм общую задачу об асимптотической формуле для числа представлений натурального числа в виде многочлена специального вида.

В 1934 г. Виноградов создает новый метод оценок тригонометрических сумм, несравненно более точный, чем метод Вейля. Используя этот новый метод, он получает принципиально более сильные результаты в проблеме распределения дробных долей многочленов, в самой проблеме Варинга, в проблеме приближения вещественного числа дробной долей целого многочлена и др. В то же самое время метод Виноградова был успешно применен в теории дзета-функции Римана (Н. Г. Чудаковым), в проблеме Гильберта–Камке (К. К. Марджанишвили), в разнообразных смешанных аддитивных проблемах.

В 1937 г. Иван Матвеевич разрабатывает метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами, то есть таких тригонометрических сумм, в которых суммирование ведется по простым числам. Пользуясь этой оценкой и методом решения аддитивных задач, описанным выше, Виноградов доказал асимптотическую формулу для числа представлений нечетного числа суммой трех простых, из которой следовало, что все достаточно большие нечетные числа являются суммой трех простых чисел. Так была решена знаменитая проблема Гольдбаха, не поддававшаяся решению в течение двух столетий (проблема возникла в 1742 г. в переписке Гольдбаха с Эйлером).

Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами, предложенный Виноградовым, дал возможность решить ряд проблем, к которым до того не было никаких подходов (например, проблема Варинга в простых числах, проблема Гильберта–Камке в простых числах). В последующие годы ученый неоднократно улучшал и совершенствовал свой метод. В 1953 г. с его помощью он дает оценку суммы неглавных характеров по последовательности сдвинутых простых чисел, которая не может быть выведена из самых сильных гипотез о распределении простых чисел, например, из расширенной гипотезы Римана.

В 1957 г., используя собственный метод оценок сумм Вейля, Виноградов получает новую границу нулей дзета-функции Римана и как следствие из нее – новый остаточный член в асимптотической формуле распределения простых чисел, не превосходящих заданной границы. В 1963 г. он получает принципиально новый остаточный член в асимптотической формуле для числа целых точек в шаре. В 1958–1971 гг. Иван Матвеевич доказывает новые общие теоремы об оценках сумм Вейля, позволяющие судить о величине их модуля при любых возможных значениях коэффициентов многочлена, стоящего в экспоненте (эти результаты содержатся в его монографии 1980 г.).

В 1976 г. вышла монография Виноградова «Особые варианты метода тригонометрических сумм». В ней изложена картина возникновения метода тригонометрических сумм Виноградова: решения частных задач теории чисел порождали новые идеи и новые задачи, которые в свою очередь привели к решению трудных и общих проблем, созданию мощного метода аналитической теории чисел. В этой монографии подробно описаны работы ученого по проблеме целых точек в областях на плоскости и в пространстве.

Методы, созданные Виноградовым для решения проблем теории чисел, находят важные применения в различных разделах математики: математическом анализе и приближенных вычислениях, в теории вероятностей и дискретной математике.

А. А. Карацуба

1Представленное заглавие статьи А. А. Карацубы является не авторским, помещено редактором журнала без ведома автора, и было автором опротестовано. — Е. А. Карацуба


Патриарх отечественной математики

Со дня рождения Ивана Матвеевича Виноградова прошло достаточно времени. И ныне было бы вполне уместным восстановить некоторые черты этого очень неоднопланового человека, сыгравшего большую роль в нашей научной жизни.

Математические работы Виноградова обычно квалифицируются как «очень сильные», но «непонятные» (конечно, это мнение не специалистов по «методу Виноградова», а широкого круга математиков). Первое суждение означает, что в работах решены проблемы, считавшиеся «тестовыми» (например, проблема Гольдбаха о представлении нечетного числа суммой трех простых), то есть недоступными имеющимся методам. Второе предполагает не наличие каких-то пробелов в доказательствах, а то, что решение получено при помощи рассуждений, не укладывающихся в рамки общепринятых сейчас математических концепций. Такая ситуация в математике возникала не раз. Обычно это означало, что автор обогнал идейное развитие своего времени, то есть в его работах скрываются еще не выделенные в чистом виде, не формализованные общие понятия и идеи. Мне кажется вероятным, что так обстоит дело и с работами Виноградова.

Но я хочу изложить впечатления о его влиянии на математическую жизнь в СССР. По-видимому, математика – одна из наиболее процветающих областей нашей науки. Судя по внешним признакам – приглашениям докладчиков на международные конгрессы, приезду иностранных специалистов сюда и приглашениям наших в другие страны, присуждению премий, избранию в иностранные академии – она высоко ценится во всем мире. История ее своеобразна. В развитии математики в нашей стране произошел какой-то взрыв. Это было в 20-е годы, в школе академика Н. Н. Лузина, и уже из этой школы, хотя часто далеко не непосредственно (как ученики учеников…), вышло большинство наших математиков. Школа Лузина находилась в Москве, и может быть поэтому Москва стала основным математическим центром страны. В этом отношении мы ближе к Франции, где математическая жизнь полностью сосредоточена в Париже, чем к Германии и США, в которых математика развивается во многих примерно равновеликих центрах. Московская же опирается на два основания: механико-математический факультет МГУ («мехмат») и Математический институт им. В.А. Стеклова АН СССР («Стекловка»). Подавляющее большинство выдающихся московских математиков окончили мехмат и значительную часть своей жизни работали в «Стекловке». Это обстоятельство возвращает нас к Виноградову. Если на мехмате сменилось множество деканов, то в «Стекловке» почти с самого основания и на протяжении почти 50 лет директором был Виноградов (за исключением военного времени, когда этот пост занимал С. Л. Соболев). Причем директором очень волевым, наложившим сильнейший отпечаток своей личности на все развитие института.

А личность эта была чрезвычайно необычная, что ощущалось при первых же контактах. Например, любая просьба, обращенная к Виноградову как директору, сначала натыкалась на его спонтанное сопротивление, даже когда было совершенно ясно, что он должен бы ей сочувствовать. Как правило он вбирал голову в плечи и говорил как-то нараспев: «Не знаю… Не знаю Вряд ли это возможно…» Но потом записывал на чистом листе бумаги все обстоятельства дела и часто просьбу исполнял, хотя и после нескольких подталкиваний. Этот «негативизм» – хорошо известная болезненная черта. И вообще, в психике Виноградова, на мой взгляд, много болезненного. Он был страшно одинок. У него не только не было семьи, детей, но, сколько я знаю, с ним рядом никогда не было женщины. Мне кажется, и близких друзей он не имел. Его единственная сестра умерла от рака. Вне математики для него не существовало ярких интересов, увлечений. Атмосфера его одиночества ощущалась всякий раз, стоило зайти в его директорский кабинет. Выйти оттуда было очень трудно: Виноградов придумывал все новые темы разговора, пускался в воспоминания, всячески оттягивая момент, когда он снова останется один.

Можно попытаться интерпретировать математический талант Виноградова как «компенсационную установку», возникшую в связи с каким-то юношеским кризисом, в результате которого сильно ослабли его контакты с другими областями жизни. Нечто аналогичное я наблюдал, в большей или меньшей степени, у многих выдающихся математиков. Быть может, это подтверждает догадку В. В. Розанова «о людях лунного света» – творцах современной культуры.

Необычными были и отношения Виноградова с учениками. В то время, как все другие математики, стремясь иметь учеников, всячески обихаживают их, он с ними, как правило, ссорился. Обычно рядом с ним был один ученик, но несколько лет близких отношений кончались ссорой. Исключение – Ю. В. Линник (будущий академик), которому удалось сохранять хорошие отношения с Виноградовым всю свою жизнь. Но это надо отнести за счет исключительного такта и даже дипломатических способностей Юрия Владимировича. Единственная (в Москве) попытка Виноградова приобрести учеников обычным путем – чтением факультативного курса на мехмате – закончилась тем, что все студенты разбежались (я оставался последним).А ведь Виноградов не был лишен педагогического дара. Он написал совершенно оригинальный учебник теории чисел. Меньшая часть его состоит из стандартного изложения основ теории, зато большая – это очень интересный подбор задач. Такой подход передает отношение автора к теории чисел: она подобна ремеслу или крестьянскому труду, которому нельзя научиться «теоретически», а только в работе.

Благодаря тому, что из сферы интересов Виноградова выпали многие стороны жизни, громадные интеллектуальные возможности и сила воли, данные ему от рождения, сконцентрировались в двух сравнительно узких областях, исследованиях по аналитической теории чисел и руководстве Математическим институтом. Его роль в развитии аналитической теории чисел стала очевидной уже после первых его работ. Вскоре в знаменитой обзорной книге Э. Ландау (1927) появился раздел – «Метод Виноградова». С тех пор ведущая роль Виноградова в этом направлении общепризнана.

Виноградову удалось создать блестящий Математический институт, в котором долго (или даже всю творческую часть жизни) работали почти все выдающиеся советские математики (если учесть и его Ленинградское отделение): Александров, Бернштейн, Колмогоров, Келдыш, Лузин, Лаврентьев, Петровский, Понтрягин, Новиков, Шнирельман. И это при том, что число научных сотрудников института, как правило, не превышало сотни! Хотя в последние десятилетия доминирующая роль института менее заметна, Отделение математики АН СССР до сих пор пополняется в основном математиками из числа сотрудников института.

Положение дел в институте все время было одной из основных жизненных проблем Виноградова. Однажды он мне сказал, как нечто само собой разумеющееся: «Мне по ночам не спится, и я все думаю: кого взять на работу в институт, кого передвинуть на другую должность». Каждую кандидатуру математика, принимаемого на работу, он долго взвешивал, со многими обсуждал. Этот метод «постоянного размышления» (так Ньютон объяснял секрет своих успехов), как и всегда, принес свои плоды – жизнь показала, что при подборе сотрудников «Стекловки» Виноградов удивительно редко ошибался.

Нельзя сказать, что работать с ним было легко. Негативизм, о котором я упоминал, дополнялся у него какой-то мизантропической иронией, желчными капризами. Например, он долго держал на одной технической должности работника, который был груб со всеми, кто имел с ним дело (то есть почти все сотрудники института). В результате возникали постоянные скандалы, которые Виноградов наблюдал с явным интересом. Но все же чувствовалось, что на первом месте у него стоит цель – иметь первоклассный институт. Более того, он меряет свой успех в жизни в зависимости от того, насколько он в этом преуспел. И его усилия не пропали даром: ему удалось создать исследовательский математический центр, равного которому в его лучшие годы, пожалуй, не было в мире.

В пору гласности, мне кажется, было бы неправильным обходить молчанием обвинение, которое часто предъявлялось Виноградову: «Он был антисемитом!» Речь идет об очень растяжимом термине, так что без существенных уточнений такое обвинение представляется мне вообще бессмысленным. Но, как мне кажется, в какой-то интерпретации его можно применить к некоторым сторонам деятельности Виноградова. И прежде всего потому, что он любил на эту тему поговорить: например о том, что, по его мнению, во многих институтах академии евреи занимают большинство руководящих постов и только благодаря его усилиям этого не произошло в Математическом институте. Однако в реальных поступках эти его взгляды проявились в смягченной форме. Об этом свидетельствует хотя бы то, что практически все выдающиеся советские математики-евреи подолгу работали в «Стекловке», например, Бернштейн, Гельфонд, Люстерник, Шнирельман, Наймарк, да и многие другие. Крупный математический талант он ощущал каким-то шестым чувством, и для него талант перевешивал все другие соображения. Но в менее бесспорных случаях он, несомненно, бывал необъективен в этом отношении. Хотя все же спорить с ним было можно, а иногда и переубеждать. Такие споры не портили отношений с ним: хотя в момент спора он и раздражался, но не затаивал злобы и даже, как мне кажется, споривших с ним уважал (никому в этом не признаваясь). Интересно, что когда Иван Матвеевич рассказывал о своей молодости, то как людей, с которыми был близок, называл Безиковича, Тамаркина и Фридмана (физика). Так что тут не было укоренившегося смолоду предубеждения. И когда Виноградова выбирали в академики в 1929 г., его поддерживали тогдашние ленинградские лидеры «коммунистической фракции в математике» – Кулишер и Лейбферт, противопоставляя его «реакционной профессуре». А ученым секретарем Математического института долгое время был Б. И. Сегал. И позже трудно было понять, когда у Виноградова прорывалось национальное предубеждение, а когда присущие ему капризность и негативизм. (Может быть, его негативизм был просто защитной реакцией – страхом подпасть под чужое влияние.) Например, мне так и не удалось уговорить его пригласить на работу в институт одного очень хорошего алгебраиста (русского), против которого у него было только одно возражение: «А зачем он носит длинные волосы!»

Мне кажется, что в лучшие годы Виноградова все его отрицательные черты с лихвой перевешивались тем положительным, что он сделал для создания и развития «Стекловки». Но те же его особенности гораздо резче отрицательно проявлялись в последние 10–15 лет директорства. Причину легко понять. Его научная работа становилась все менее интенсивной, и институт оставался единственной нитью, связывающей его с жизнью. Видимо, и способность к верной оценке математиков ослабевала. Ему давно пора бы отказаться от руководства институтом, а для него это было равносильно отказу от жизни. Он готов был бороться за свое положение директора как за саму жизнь. В результате шел на многие компромиссы, если они обеспечивали следующий срок директорства – на борьбу за это уходила большая часть его тающих сил. Таким образом, институт оказался жертвой того, что тогда еще не был введен предельный срок для занятия административных постов – мера, крйне необходимая. К счастью, институт накопил такой запас прочности (в значительной степени благодаря трудам того же Виноградова), что и это печальное время не нанесло ему непоправимого урона.

Я пытался передать свое впечатление от Виноградова – личности глубоко противоречивой. Его достоинства и недостатки неразделимы – они происходят из одного источника. Как часто бывает, при жизни Виноградова математики обращали больше внимания на болезненные ситуации, возникавшие по его вине. Сейчас, когда все это уходит в прошлое, яснее становится, скольким мы ему обязаны. Он вложил большую часть своей жизни в создание такого Математического института, какой существует ныне: совершенно уникальный научный центр. Все мы, работающие в нем, пользуемся до сих пор (и еще долго будем пользоваться) плодами трудов Виноградова. Они сказываются и далеко за пределами института, во всей советской математике и даже шире – во многих областях информатики, механики и теоретической физики, создатели которых выросли в «Стекловке».

И. Р. Шафаревич


Из творческого наследия ученого

Лучше всех о научной работе может рассказать ее автор. И. М. Виноградов опубликовал несколько обзоров, в которых тщательно анализировались как достижения, так и нерешенные проблемы теории чисел. Редакция предлагает читателям отрывки из этих работ. Но сначала – «Записка об ученых трудах И. М. Виноградова», составленная его учителем академиком Я. В. Успенским в 1929 г.

Иван Матвеевич Виноградов, профессор Ленинградского университета и Ленинградского политехнического института, родился в 1891 г. Математическое образование получил на физико-математическом факультете Ленинградского университета, который окончил в 1914 г. Вскоре после этого началась его научная работа в области аналитической теории чисел, которую он обогатил многими новыми важными результатами и методами. Первая из напечатанных им работ, «Новый способ для получения асимптотических выражений арифметических функций» (1917), уже ясно обнаружила, какими творческими способностями обладает ее автор. В вопросах этого рода, впервые поставленных Гауссом и Дирихле, главную трудность представляет оценка погрешности асимптотической формы. До появления этой работы Виноградова понижение порядка погрешностей против пределов, даваемых элементарным методом Дирихле, было достигнуто только для нескольких частных случаев. Виноградов же развил арифметическую и сравнительно простую методу, которая привела к общим результатам, включающим все известные до того частные случаи. Продолжая работать над тем же предметом, он развил другую, более могущественную методу аналитического характера, устное изложение которой было сделано в 1916 г. Однако в то время оказалось невозможным полностью опубликовать эту работу, которая в 1920 г. в рукописном виде была представлена в физико-математический факультет Ленинградского университета как диссертация. Незадолго до этого, как выяснилось впоследствии, та же метода по существу была опубликована голландским математиком Ван Корпут и с тех пор связывается с именем этого последнего, хотя по справедливости ее следовало бы назвать методой Виноградова. Крупные результаты были достигнуты Виноградовым в связи с известной теорией Варинга и ее обобщениями. Первая из относящихся сюда работ (№ 8 по списку) появилась в 1924 г. и сразу обратила внимание Э. Ландау, который дал подробный анализ метода Виноградова сначала в журнале «Acta Mathematica», а затем посвятил ей же главы в своей известной книге «Vorlesungen über Zahlentheorie» (1927). В работах №№ 19 и 20 по прилагаемому списку Виноградов замечательным образом упрощает и расширяет метод Харди и Литтлвуда, получая на нескольких страницах те же результаты, которые у самих знаменитых авторов этого метода потребовали десятков страниц. Замечательны также работы Виноградова, относящиеся к области Диофантовых приближений (№№ 6, 12, 16 по списку), где путем весьма остроумных приемов ему удается получить результаты много более общие, чем все известные до сих пор.

Наконец, интересны результаты Виноградова, касающиеся вычетов и невычетов степеней, первообразных корней и индексов (№№ 5, 9, 10, 11 по списку). Работы 9 и 12 заслуживают особого упоминания. В них автор дает чисто арифметическое обоснование результатов, ранее полученных им путем применения анализа.

Всякому известно, с какими трудностями сопряжено устранение анализа при решении подобных вопросов, и способ, каким Виноградов эти трудности побеждает, навсегда останется образцом математической изобретательности.

В своих исследованиях Виноградов вполне самобытен и не является чьим-либо продолжателем. Он изобретает свои собственные пути, и есть все основания надеяться, что и в будущем наука будет обогащаться его важными открытиями.

«О проблемах аналитической теории чисел», 1932

За последние 15 лет наши ученые достигли крупнейших успехов во всех главных направлениях современной математики. Для характеристики этих успехов нет надобности останавливаться на всех достижениях, и я здесь коснусь лишь теории чисел. При этом, главным образом, я затрону лишь один отдел этой науки, который носит название аналитической теории чисел.

Нужно сказать, что арифметические задачи наиболее естественно, казалось бы, и решать арифметическими методами, то есть не вводя в доказательство элементы, посторонние арифметике, и в частности элементы анализа. Однако история теории чисел дает немало примеров, когда для решения арифметических проблем одних арифметических методов оказывалось недостаточно. Обнаружилась необходимость вводить в доказательство элементы анализа бесконечно-малых. Из теории чисел выделился ряд крупных проблем, решаемых методами анализа. Отсюда и возникла аналитическая теория чисел.

Как наиболее яркий пример пользы анализа в арифметических вопросах приведу теорему о бесконечности числа простых чисел в арифметической прогрессии $ax+b$, $(a,b)=1$, $x=1,2,3,\dots$, которую в общем виде впервые удалось доказать Дирихле с помощью анализа (применением рядов Дирихле). Посредством же арифметических методов доказательство этой теоремы достигнуто лишь для случая $b=1$, то есть для прогрессии $ax+1$ и для некоторых других мелких частных случаев…

…Следует отметить и другую полезную сторону аналитического метода в теории чисел. Анализ, получая для разрешения новые трудные задачи, сам растет и совершенствуется. Как пример, приведу ряды Дирихле, теорию функции $\zeta(s)$, свойства Бесселевых функций, ряд замечательных теорем, относящихся к теории функций комплексного переменного (например, теоремы Линделёфа, Фрагмена, Меллина), разрывные суммы и интегралы и т.д.

Таким образом, применение аналитического метода к теории чисел, обогащая эту науку новыми ценными достижениями, одновременно развивает и совершенствует и сам анализ.

«Представление нечетного числа суммою трех простых чисел», 1937

Простейшие примеры применения моего метода к теории простых чисел были даны еще в 1934 г. В настоящей работе я даю применение этого метода к оценке суммы $$ \sum_{p\leqslant N}e^{2\pi i\alpha p} $$ откуда, пользуясь одной новой теоремой о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях (разность прогрессии медленно растет с увеличением числа ее членов), я вывожу асимптотическое выражение для числа представлений нечетного $N$ в форме $$ N=p_1+p_2+p_3. $$ Отсюда непосредственно следует, что всякое достаточно большое нечетное число можно представить в виде суммы трех простых чисел. Это есть полное решение проблемы Гольдбаха для нечетных чисел.

«Аналитическая теория чисел», 1945

Не могу не отметить, что, несмотря на кажущуюся случайность появления русских работ по аналитической теории чисел, они связаны между собой тесной преемственностью. Чебышев использовал основную идею Эйлера для получения первых нетривиальных результатов о простых числах, а в свое время толчком для моих исследований была работа Вороного. Следует также отметить тот факт, что работы как раз нашей Академии наук сыграли большую роль в развитии аналитической теории чисел.

Из речи на открытии Международной конференции по аналитическим методам теории чисел и анализа, 1981

В заключение я хочу сказать несколько слов, которые могут быть полезны лицам, желающим посвятить свою жизнь занятию математикой.

Надо пытаться решать важные задачи, не считаясь с их трудностью. Их решения навсегда войдут в историю науки и принесут людям большую пользу. Так поступали наши великие предшественники. Не следует увлекаться решением легких и малонужных задач только потому, что они не требуют больших усилий. Ученые, которые это делают, могут увлечь на тот же неправильный путь и своих учеников. Выбрав достойную тему, следует наметить план работы и не оставлять его, пока теплится хоть малейшая надежда на успех. Важно знать работы классиков – содержащиеся в них идеи могут оказать решающее действие на успех собственный.

Публикацию подготовил А.А. Карацуба


На главную страницу

© Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, 2004–2017
Разработка и дизайн: Отдел КС и ИТ