Отдел дифференциальных уравнений

Отдел дифференциальных уравнений (Отдел обыкновенных дифференциальных уравнений до 2002 г.) был создан в 1959 г. Л. С. Понтрягиным, который руководил им до свой кончины в 1988 г.

До начала 1950-х годов основные интересы Л. С. Понтрягина были сосредоточены на топологии, однако затем у него созрело решение сменить тематику, целиком посвятив себя обыкновенным дифференциальным уравнениям и смежным вопросам (включая задачи, связанные с теорией управления, которая в то время называлась (и была) теорией автоматического регулирования). В связи с этим осенью 1952 г. в МИАН начал работать руководимый Л. С. Понтрягиным семинар по этой тематике (который он вел со своими молодыми сотрудниками В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко). Впоследствии от этого семинара ответвились несколько других семинаров, а сам он сохранился как общий семинар отдела.

В новой области у Л. С. Понтрягина в разное время были четыре темы исследований:

• теория сингулярных возмущений,
• устойчивость положений равновесия релейных систем,
• математическая теория оптимальных процессов,
• дифференциальные игры.

Наибольшую известность и признание из этих исследований получили работы по оптимальным режимам в управляемых процессах. Началось все с исследования нескольких математических моделей конкретных задач, о которых инженеры рассказывали на семинаре Л. С. Понтрягина. К 1955 г. Л. С. Понтрягин нашел необходимое условие оптимальности, известное ныне как принцип максимума Понтрягина. Для широкого класса линейных систем доказательство принципа максимума было дано Р. В. Гамкрелидзе в 1957 г. В 1958 г. В. Г. Болтянский доказал его в общем виде. В 1961 г. вышла монография: Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. «Математическая теория оптимальных процессов», за которую весь коллектив авторов был удостоен высшей научной премии страны — Ленинской премии. С тех пор теория оптимальных процессов выросла в отдельное направление в теоретической и прикладной математике.

Среди выдающихся результатов, полученных в отделе, следует отметить также

• работы Л. С. Понтрягина и Е. Ф. Мищенко по теории релаксационных колебаний и дифференциальным играм;
• работы Ю. С. Осипова и А. В. Кряжимского по теории дифференциальных игр, теории обратных задач динамики и теории оптимизации;
• работы Д. В. Аносова по исследованию свойств геодезических потоков на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, осреднению в системах дифференциальных уравнений с быстроколеблющимися решениями, изучению поведения на бесконечности подъемов (на универсальную накрывающую поверхность) траекторий потоков на замкнутых поверхностях;
• отрицательное решение проблемы Римана–Гильберта (21-й проблемы Гильберта для линейных фуксовых систем уравнений), полученное А. А. Болибрухом в 1989 г., а также работы А. А. Болибруха об изомонодромных деформациях фуксовых систем;
• работы А. А. Аграчева и Р. В. Гамкрелидзе по геометрической теории оптимального управления и смежным вопросам дифференциальной геометрии, вариационного исчисления и гамильтоновой динамики;
• работы С. М. Асеева по регуляризации негладких задач динамической оптимизации, многозначному анализу и математической теории задач оптимального экономического роста.

В 1988–1997 гг. отделом руководил Р. В. Гамкрелидзе, в 1997–2014 гг. — Д. В. Аносов.

В настоящее время заведующим отделом является С. М. Асеев.

В настоящее время в отделе ведутся исследования по следующим направлениям:

• динамические системы, эргодичность, структурная устойчивость, асимптотика (Д. В. Аносов, А. И. Буфетов, А. В. Клименко);
• дифференциально-геометрические методы в теории экстремальных задач (А. А. Аграчева, Р. В. Гамкрелидзе);
• теория оптимального экономического роста (С. М. Асеев, К. О. Бесов, А. В. Кряжимский, М. С. Никольский);
• оптимальное управление, дифференциальные игры, обратные задачи динамики управляемых систем (А. В. Кряжимский, Ю. С. Осипов, М. С. Никольский).

В 1962 г. возглавляемый Л. С. Понтрягиным коллектив в составе В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко был удостоен Ленинской премии за «Цикл работ по обыкновенным дифференциальным уравнениям и их приложениям к теории оптимального управления и теории колебаний, опубликованных в 1956–1961 годах».

Д. В. Аносов:

Премия Московского математического общества — 1965 г.,

Государственная премия СССР — 1976 г.,

Премия Гумбольдта — 1999 г.,

Премия им. А. М. Ляпунова РАН — 2001 г.

Ю. С. Осипов:

Ленинская премия — 1976 г.,

Государственная премия РФ — 1993 г.,

Золотая медаль им. Л. Эйлера — 1997 г.,

Орден «За Заслуги Перед Отечеством Второй Степени» — 1999 г.

А. А. Болибрух:

Премия им. А. М. Ляпунова РАН — 1995 г.,

Государственная премия РФ — 2001 г.

Р. И. Григорчук:

Премия Московского математического общества — 1980 г.

Премия имени Л. П. Стила Американского математического общества - 2015 г.

А. С. Мищенко:

Государственная премия РФ — 1996 г. (совм. с А. Т. Фоменко),

Ломоносовская премия — 2001 г.

К. О. Бесов:

Премия МАИК «Наука/Интерпериодика» за цикл публикаций по разрушению решений квазилинейных параболических систем — 2005 г.

А. И. Буфетов:

Премия Московского математического общества (за цикл работ по приложению теории перекладываний и гиперболической теории динамических систем к потокам Тайхмюллера) - 2005 г.

Стипендия Фонда Альфреда П. Слоуна - 2010 г.

Премия имени С.В. Ковалевской Российской академии наук (за цикл работ «Эргодическая теория и ее применения к случайным процессам, представлениям и теории Тейхмюллера») - 2015 г.