На главную страницу
На главную страницу
На главную страницу
English page
English page
ФАНО России | РАН | Math-Net.Ru | ММО | Web of Science | Scopus | MathSciNet | Zentralblatt MATH | Проверка почты | Справка 

   
 Об институте
 Аттестация сотрудников
 Научная деятельность
 Публикации
 Правила оформления научных работ
 Администрация
 Ученый совет
 Диссертационные советы
 Отделы
Сотрудники 
 Аспирантура
 Научно-образовательный центр
 Совет молодых ученых
 Профком МИАН
 Семинары
 Конференции
 Мероприятия
 Издания МИАН
 In memoriam
 Фотогалерея МИАН
 Музей МИАН
 Реквизиты МИАН
 Устав МИАН
 Библиотека


    Адрес института
Адрес: Россия, 119991, Москва, ул. Губкина, д. 8
Тел.: +7(495) 984 81 41
Факс: +7(495) 984 81 39
Сайт: www.mi.ras.ru
E-mail: steklov@mi.ras.ru

Посмотреть карту
Схема проезда

   
Научно-образовательный центр

Научно-образовательный центр при МИАН

Дополнительные главы по анализу (1/2 года)
академик Дмитрий Викторович Аносов

Конспект лекций
Справочные материалы

 I. Дифференциальное исчисление.

  1. Банаховы пространства.
  2. Производная.
    1. Скорость. (В случае одной независимой переменной ничего больше, в сущности, не надо.)
    2. Главная линейная часть приращения. (Этот подход работает не только в случае нескольких независимых переменных, но и для функций на банаховом пространстве. В этом случае главную линейную часть называют производной Фреше.)
    3. О производной в ТФКП. $\partial$ и $\overline{partial}$. Информация о чуде: существование таковой во всех точках области определения влечет существование всех производных и сходимость ряда Тейлора. Чудо на то и чудо, чтобы чудесный элемент присутствовал не только в формулировке, но и в доказательстве. Последний элемент состоит в том, что эти, казалось бы, чисто дифференциальные факты доказываются с использованием интегралов.
    4. Производная Гато (производная по направлению). Элементарный вопрос: Когда существование производной Гато (что легче проверить) влечет существование производной Фреше?
    5. В конечномерном случае надо постараться, чтобы построить нигде не дифференцируемую функцию. В бесконечномерном случае так бывает в самых простых случаях.
    6. Уравнения Эйлера–Лагранжа в вариационном исчислении. Почему оно не сводится к общим (и довольно тривиальным) бесконечномерным фактам?
    7. Пфаффовы формы как линейные функционалы на векторах.
  3. Теорема о неявных функциях (банахова).
    1. Сама теорема.
    2. Пример приложения: существование и единственность для ОДЕ плюс гладкая зависимость от начальных данных и параметров.
    3. Пример приложения: локальные инвариантные многообразия для ОДЕ.
  4. Внешние дифференциальные формы.
    1. Алгебраическая часть (специально о кососимм. формах и немного о тензорах).
    2. Операция d.
    3. Векторный анализ с точки зрения ВДФ.
      Дифференциал и градиент — близнецы-братцы. Легко ли в этом нам разобраться? Кто для анализа ценнее стал?
      Мы говорим — дифференциал, подразумеваем градиент, мы говорим — градиент, подразумеваем дифференциал. А верно ли все это или нет? (Подражание лучшему, талантливейшему поэту нашей (теперь уже, к счастью, б. нашей) эпохи.)
    4. Скобка Пуассона векторных полей. Немного о производной Ли.
    5. Теорема Фробениуса.
  5. Старшие производные. Струи. Формула Тейлора.

 II. Мера и категория.
У луч., тал. поэта (б.) наш. эп. есть стихи "Что такое хорошо и что такое плохо". Я буду говорить на тему "Что такое много и что такое мало".

  1. Мера Лебега на прямой.
    Примечание: еще до отчетливой формулировки б. основного вопроса философии (что первично — материя или сознание?) обсуждался вопрос, что первично — курица или яйцо? Его разновидность применительно к нашим интересам гласит: что первично — мера или интеграл? Я думаю, что мера. (Данное мнение является единственно правильным, поскольку противоположное мнение ошибочно.)
  2. Категория (массивность). Категория versus мера.
  3. Об общей теории меры.
  4. Мера на компакте $K$. Теорема Рисса and company об общем виде линейного функционала в $C(K)$.

 III. Об обобщенных функциях (немного).
Основные применения теории обобщенных функций относятся к задачам о функциях нескольких переменных (напр., к УрЧП, но не только к ним — есть еще квантовая теория поля). Это уже тема для спецкурсов. В одномерном случае обобщенные функции позволяют по-новому интерпретировать некоторые давным-давно известные вещи вроде функции Грина краевой задачи, что небесполезно для общего развития, но не дает ничего принципиально нового. Все же в одномерном случае есть нечто с более оригинальным содержанием — сверточная алгебра, автоматически дающая обоснование операционного исчисления. Об этом я и надеюсь рассказать.
Примечание: "Каждый да колет яйцо с того конца, как удобнее". Это веротерпимое высказывание священной книги лиллипутов не предотвратило религиозных войн, которые, с полным уважением к ней, велись не по поводу того, с какого конца следует колоть яйца, а того, с какого конца удобнее. Обосновывать же операционное исчисление можно не с двух, а с пяти концов: элементарный метод (см. учебник матфизики Джефриса и Свирлс); преобразование Лапласа (наиболее распространенный "конец"); контурный интеграл, более или менее обратный к преобразованию Лапласа (применялся еще до того, как возникла потребность в обосновании операционного исчисления, которого тогда и не было); сверточная алгебра (приложение теории обобщенных функций Шварца); исчисление Микусинского (другая и притом более общая теория обобщенных функций). К счастью, поклонники одного "конца" зачастую не знают о существовании других "концов", что пока предохраняет от слишком острых конфликтов.

На главную страницу

© Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, 2004–2017
Разработка и дизайн: Отдел КС и ИТ