На главную страницу
На главную страницу
На главную страницу
English page
English page
ФАНО России | РАН | Math-Net.Ru | ММО | Web of Science | Scopus | MathSciNet | Zentralblatt MATH | Проверка почты | Справка 

   
 Об институте
 Аттестация сотрудников
 Научная деятельность
 Публикации
 Правила оформления научных работ
 Администрация
 Ученый совет
 Диссертационные советы
 Отделы
Сотрудники 
 Аспирантура
 Научно-образовательный центр
 Совет молодых ученых
 Профком МИАН
 Семинары
 Конференции
 Мероприятия
 Издания МИАН
 In memoriam
 Фотогалерея МИАН
 Музей МИАН
 Реквизиты МИАН
 Устав МИАН
 Библиотека


    Адрес института
Адрес: Россия, 119991, Москва, ул. Губкина, д. 8
Тел.: +7(495) 984 81 41
Факс: +7(495) 984 81 39
Сайт: www.mi.ras.ru
E-mail: steklov@mi.ras.ru

Посмотреть карту
Схема проезда

   
Научно-образовательный центр

Научно-образовательный центр при МИАН

Введение в математическую физику (осенний семестр 2005 г.)
член-корр. РАН Игорь Васильевич Волович

 Предисловие к спецкурсу
 Программа спецкурса
 Задачи семинара 1 (pdf-файл)
 Задачи семинара 2 (pdf-файл)
 Задачи семинара 3 (pdf-файл)
 Задачи семинара 4 (pdf-файл)
 Задачи семинара 5 (pdf-файл)
 Задачи семинара 6 (pdf-файл)
 Задачи семинара 7 (pdf-файл)
 Задачи семинара 8 (pdf-файл)
 Задачи семинара 9 (pdf-файл)
 Задачи семинара 10 (pdf-файл)
 Задачи семинара 11 (pdf-файл)
 Литература

 Наверх

Предисловие к спецкурсу

Предмет математической физики в широком смысле составляет построение и исследование математических моделей физических явлений.

Это определение требует пояснений. При широком подходе в математическую физику следовало бы включать основные концепции анализа, геометрии и алгебры, поскольку понятия целых и действительных чисел, прямой и плоскости, простейших алгебраических операций отражают пространственно-временные и другие структурные свойства реального мира и в этом смысле оказываются моделями физических явлений.

Хотя такой подход к математической физике представляется, возможно, излишне широким, заметим, что пересмотр традиционных математических и физических концепций пространства-времени, основанных на архимедовых евклидовой и римановой геометрии, вполне актуален в квантовой гравитации и теории суперструн.

Более узкий подход сводит математическую физику к изучению краевых задач для трех основных типов линейных уравнений — Лапласа, теплопроводности и волновому, которые рассматриваются начиная с XVIII в. и сохраняют важное значение и в настоящее время.

В настоящем курсе предпринята попытка дать введение в современную математическую физику с учетом достижений математики и физики XX в.

Становление математической физики связано с построением математических моделей и исследованием проблем механики, гидродинамики, акустики, диффузии, оптики в классических работах Ньютона, Лапласа, Гаусса, Эйлера, Максвелла, Римана, Больцмана, Остроградского, Ковалевской, Ляпунова, Стеклова и других исследователей.

Современная фундаментальная физика основана на созданных в XX в. квантовой механике и общей теории относительности. В развитие современной математической физики внесли вклад такие выдающиеся ученые, как Гильберт, Пуанкаре, Эйнштейн, Дирак, фон Нейман, Г. Вейль, Фок, Боголюбов и другие.

Важное место в современной математической физике занимает изучение:

  • нелинейных уравнений специального вида (уравнения Эйнштейна гравитационного поля, уравнения Навье–Стокса гидродинамики, уравнения Янга–Миллса калибровочных полей, уравнение Кортевега–де Фриза и др.);
  • статистических систем с бесконечным числом степеней свободы;
  • сложных иерархических и неупорядоченных систем;
  • интегрируемых и неинтегрируемых (хаотических) динамических систем;
  • математических проблем, связанных с квантовой механикой, квантовой теорией поля и теорией струн;
  • разработка асимптотических, вычислительных и других математических методов исследования задач математической физики.

Используются разнообразные математические методы, в том числе методы функционального анализа, теории дифференциальных уравнений, теории обобщенных функций, теории представлений групп, теории вероятностей, комплексного анализа, дифференциальной и алгебраической геометрии, р-адического анализа, вычислительной и дискретной математики.

Математическая физика является разделом математики, ее результаты являются математически строгими и формулируются в виде теорем. Верно ли, что математическая физика занимается только "наведением математической строгости" на и без того понятные физикам результаты?

Конечно, работа по математическому обоснованию физических подходов занимает важное место в математической физике, и это существенно не только для математики, но и для физики.

Однако в ряде случаев строгие математические исследования шли впереди физических подходов и меняли установившиеся в физике представления. Это относится, например:

  • к работам Лобачевского, Римана, Гильберта и других математиков, которые привели к созданию общей теории относительности Эйнштейном;
  • к работам Фридмана и теоремам Пенроуза и Хокинга о неизбежности сингулярностей в космологии и черных дырах;
  • доказательствам возникновения стохастического хаотического поведения в динамических системах;
  • теореме Белла, из которой следует существование определенной формы квантовой нелокальности;
  • теории групп и алгебр Ли и их представлений, на которой основана теория симметрии физических систем.

Огромный интерес не только для математики, но и для физики представило бы исследование математических задач о поведении решений уравнений Навье–Стокса и доказательство конфайнмента кварков в квантовой хромодинамике.

Обсуждая взаимодействие математики и физики, уместно напомнить научное кредо Гильберта, Пуанкаре, российских математиков, которые всегда предпочитали чисто формальной общности глубокое проникновение в самую суть математической задачи. Математическая интуиция играет важную роль в формировании физических концепций, как видно, например, из истории открытия уравнений Ньютона, Эйнштейна, Дирака, Янга–Миллса. Очевидно также плодотворное влияние математической физики на различные другие разделы математики.

По существу, грани между чистой математикой, математической физикой и теоретической физикой нередко носят условный характер даже в рамках одной статьи. Это подтверждается, например, известной работой Боголюбова, содержащей доказательство теоремы об острие клина и дисперсионных соотношений для амплитуд рассеяния элементарных частиц.

В знаменитых работах Шредингера, в которых было предложено основное уравнение квантовой механики, была также решена спектральная задача для атома водорода. Этот результат полностью сохранил свое значение в построенной позднее фон Нейманом — с целью математического обоснования принципов квантовой механики — теории самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.

Другой пример — понятие о дельта-функции Дирака, которую можно было рассматривать как математическую гипотезу. Она была обоснована Паули и Йорданом на языке дельта-образных последовательностей и затем Соболевым и Шварцем в теории обобщенных функций.

"Природа говорит на языке математики", однако не любые математические результаты представляют интерес для физики. Можно тем не менее отметить, что, например, не только работы Римана по теории электромагнитного поля были непосредственно связаны с математической физикой, но и его чисто математическая работа о нулях дзета-функции получила истолкование в математической физике (в связи с квантовым хаосом), равно как и теория модулей римановых поверхностей, на которую опирается теория струн.

В первом семестре будет дано введение в анализ некоторых линейных и нелинейных уравнений математической физики, рассказано о некоторых асимптотических методах и изложены математические основы квантовой механики.

Будет уделено внимание не только хорошо установленным результатам, но и математическим вопросам, связанным с фундаментальными нерешенными проблемами современной теоретической и математической физики, такими как квантовая нелокальность и корреляции Эйнштейна–Подольского–Розена или структура сингулярностей черных дыр и информационный парадокс.

Разумеется, в кратком вводном курсе мы не сможем охватить в деталях весь круг интереснейших проблем, которые изучаются в современной математической физике. Предполагается, что более подробное рассмотрение будет изложено в лекциях сотрудников отдела математической физики на протяжении двух лет.

Предлагаемый курс основан на книге В. С. Владимирова "Уравнения математической физики" и является попыткой ее развития.

В составлении курса принимали участие сотрудники отдела математической физики МИАН:
– академик В. С. Владимиров,
– член-корр. РАН И. В. Волович,
– доктор физ.-матем. наук, профессор А. К. Гущин,
– доктор физ.-матем. наук, профессор Ю. Н. Дрожжинов,
– доктор физ.-матем. наук, профессор Б. И. Завьялов,
– доктор физ.-матем. наук, профессор В. П. Михайлов.

Ниже приведена программа спецкурса на первый семестр.

 Наверх

Программа спецкурса
Введение в математическую физику

(осенний семестр 2005 г.)
Лектор – член-корр. РАН И. В. Волович

 1. Пространства основных и обобщенных функций
Шварца, Соболева, умеренного роста. Псевдодифференциальные операторы и квантование.

 2. Линейные уравнения математической физики.
Уравнения:
   – Лапласа, теплопроводности, волновое,
   – Шредингера (квантовая механика),
   – Клейна–Гордона–Фока,
   – Максвелла (электромагнитное поле),
   – теории упругости,
   – Дирака (электрон).
Фундаментальные решения. Постановки краевых задач.
Производные Фреше и Гато. Вариационные уравнения Эйлера.
Лагранжиан и гамильтониан в классической механике и теории поля.

 3. Нелинейные уравнения математической физики.
Эллиптические, параболические, гиперболические и корректные по Петровскому системы. Характеристики.
Уравнения:
   – нелинейного скалярного поля,
   – Навье–Стокса (гидродинамика)
   – Кортевега–де Фриза (нелинейные волны в среде с дисперсией),
   – Максвелла–Лоренца и Максвелла–Дирака (электродинамика),
   – Янга–Миллса (калибровочные поля),
   – релятивистской струны,
   – Эйнштейна (гравитация).
Простейшие решения, редукции, линейные приближения.
Ударные волны. Солитоны.
Законы сохранения. Интегрируемость.

 4. Краевые задачи.
Задача Коши для гиперболических и параболических уравнений и уравнения Шредингера.
Формула Кирхгофа, принцип Гюйгенса, лакуны.
Краевые задачи для уравнений эллиптического типа.
Индекс эллиптического оператора.

 5. Асимптотические методы.
Теория возмущений.
Метод стационарной фазы.
Метод стохастического предела.

 6. Математические основы квантовой механики.
Гильбертово пространство. Тензорное произведение.
Унитарные, самосопряженные, проекционные операторы и операторы плотности. Операторно-значные меры.
Спектральная теорема. Представления локально компактных групп.
Представления групп трансляций и вращений. Спин.
Классическая и квантовая вероятность.
Основные принципы квантовой механики:
   – наблюдаемые и состояния;
   – измерения, редукция квантовых состояний;
   – эволюция во времени;
   – движение в пространстве;
   – составные системы;
   – Бозе–Ферми альтернатива;
   – симметрии.
Теория рассеяния. Квазиклассическое приближение.
Корреляции Эйнштейна–Подольского–Розена.
Зацепленные (entangled) состояния. Теорема Белла.
Классическая и квантовая информация. Энтропия фон Неймана.
Квантование эргодических (хаотических) динамических систем.
Квантовые вычисления и алгоритмы.

В спецкурсе используются результаты из следующих книг.

 Наверх

Литература

  1. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.
  2. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.
  3. Владимиров В. С., Дрожжинов Ю. Н., Завьялов Б. И. Многомерные тауберовы теоремы для обобщенных функций. М.: Наука, 1986.
  4. Владимиров В. С., Волович И. В., Зеленов Е. И. р-адический анализ и математическая физика. М.: Наука, 1993.
  5. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.
  6. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980.
  7. Никольский С. М. Курс математического анализа. 2 т. М.: Наука, 1975.
  8. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.
  9. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977.
  10. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1984.
  11. Боголюбов Н. Н. Избранные труды. 3 т. Киев: Наукова думка, 1969.
  12. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: УРСС, 2002.
  13. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.
  14. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1977.
  15. Марчук Г. И. Сопряженные уравнения. М.: ИВМ РАН, 2001.
  16. Фон Нейман И. Математические основы квантовой механики. М.: Наука, 1964.
  17. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: Наука, 1982.
  18. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.
  19. Фаддеев Л. Д., Якубовский О. А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. РХД, 2001.
  20. Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976.
  21. Лакс П., Филипс Р. Теория рассеяния. М.: Мир, 1971.
  22. Макки Дж. Лекции по математическим основам квантовой механики. М.: Мир, 1965.
  23. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 4 т. М.: Мир, 1982.
  24. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. 2 т. М.: Мир, 1980.
  25. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции.т. 1, 3. М.: Физматгиз, 1958.
  26. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. Труды МИАН, т. 90, 1967.
  27. Садбери А. Квантовая механика и физика элементарных частиц. М.: Мир, 1989.
  28. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.
  29. Буслаев В. С. Вариационное исчисление. Л.: ЛГУ, 1980.
  30. Труды семинара Н. Бурбаки за 1988 г. М.: Мир, 1990.
  31. Скалли М. О., Зубайри М. С. Квантовая оптика. М.: Физматлит, 2003.
  32. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974.
  33. Грин М., Шварц Дж., Виттен Е. Теория суперструн. т. 1. М.: Мир, 1990.
  34. Садовничий В. А. Теория операторов. МГУ: Дрофа, 2004.
  35. Годунов С. К., Роменский Е. И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Научная книга, 1998.
  36. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1967.
  37. Арнольд В. И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. РХД, 1999.
  38. Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени. ИО НФМИ, 1998.
  39. Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. М.: МГУ, 1983.
  40. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978.
  41. Дирак П. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979.
  42. Accardi L., Lu Y. G. and Volovich I. Quantum Theory and Its Stochastic Limit. Berlin: Springer, 2002.
  43. Nielsen M. A. and Chuang I. L. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge Univ. Press, 2000.

Наверх

На главную страницу

© Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, 2004–2017
Разработка и дизайн: Отдел КС и ИТ